如圖①,點(diǎn)A′,B′的坐標(biāo)分別為(2,0)和(0,-4),將△A′B′O繞點(diǎn)O按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90°后得△ABO,點(diǎn)A′的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)A,點(diǎn)B′的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)B.
(1)寫出A,B兩點(diǎn)的坐標(biāo),并求出直線AB的解析式;
(2)將△ABO沿著垂直于x軸的線段CD折疊,(點(diǎn)C在x軸上,點(diǎn)D在AB上,點(diǎn)D不與A,B重合)如圖②,使點(diǎn)B落在x軸上,點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)E.設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為(x,0),△CDE與△ABO重疊部分的面積為S.
①試求出S與x之間的函數(shù)關(guān)系式(包括自變量x的取值范圍);
②當(dāng)x為何值時(shí),S的面積最大,最大值是多少?
③是否存在這樣的點(diǎn)C,使得△ADE為直角三角形?若存在,直接寫出點(diǎn)C的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】分析:(1)根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可以得到OA=OA′,OB=OB′,則A,B的坐標(biāo)就可以得到,根據(jù)待定系數(shù)法就可以求出直線AB的解析式.
(2)①OB=4,C點(diǎn)的位置應(yīng)分兩種情況進(jìn)行討論,當(dāng)C在OB的中點(diǎn)或在中點(diǎn)與B之間時(shí),重合部分是△CDE;當(dāng)C在OB的中點(diǎn)與O之間時(shí),重合部分是梯形,就可以得到函數(shù)解析式.
②求出S與x之間的函數(shù)解析式,根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)就可以得到面積的最值.
③分△ADE以點(diǎn)A為直角頂點(diǎn)和△ADE以點(diǎn)E為直角頂點(diǎn),兩種情況進(jìn)行討論.根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊的比相等,求出OE的長(zhǎng),就可以得到C點(diǎn)的坐標(biāo).
解答:解:
(1)A(0,2),B(4,0)(2分)
設(shè)直線AB的解析式y(tǒng)=kx+b,則有
解得
∴直線AB的解析式為(3分)

(2)i)①點(diǎn)E在原點(diǎn)和x軸正半軸上時(shí),重疊部分是△CDE.
則S△CDE=
=
當(dāng)E與O重合時(shí),
∴2≤x<4(4分)
②當(dāng)E在x軸的負(fù)半軸上時(shí),設(shè)DE與y軸交于點(diǎn)F,則重疊部分為梯形
∵△OFE∽△OAB
,

又∵OE=4-2x


=(5分)
當(dāng)點(diǎn)C與點(diǎn)O重合時(shí),點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0,0)
∴0<x<2(6分)
綜合①②得(7分)
ii)①當(dāng)2≤x<4時(shí),
∴對(duì)稱軸是直線x=4
∵拋物線開(kāi)口向上,
∴在2≤x<4中,S隨x的增大而減小
∴當(dāng)x=2時(shí),S的最大值=(8分)
②當(dāng)0<x<2時(shí),
∴對(duì)稱軸是直線
∵拋物線開(kāi)口向下∴當(dāng)時(shí),S有最大值為(9分)
綜合①②當(dāng)時(shí),S有最大值為(10分)
iii)存在,點(diǎn)C的坐標(biāo)為(,0)和(,0)(14分)
附:詳解:①當(dāng)△ADE以點(diǎn)A為直角頂點(diǎn)時(shí),作AE⊥AB交x軸負(fù)半軸于點(diǎn)E,
∵△AOE∽△BOA

∵AO=2∴EO=1
∴點(diǎn)E坐標(biāo)為(-1,0)
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為(,0)②當(dāng)△ADE以點(diǎn)E為直角頂點(diǎn)時(shí)
同樣有△AOE∽△BOA
∴EO=1∴E(1,0)
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)(,0)
綜合①②知滿足條件的坐標(biāo)有(,0)和(,0).
以上僅提供本試題的一種解法或解題思路,若有不同解法請(qǐng)參照評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)予以評(píng)分.
點(diǎn)評(píng):本題主要考查了待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式,求函數(shù)的最值,以及相似三角形的對(duì)應(yīng)邊的比相等.
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1
2
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1
2
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7
2
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(4)如圖4,當(dāng)點(diǎn)B、E移動(dòng)到∠CAD的內(nèi)部時(shí),結(jié)論又如何?根據(jù)圖3或圖4,說(shuō)明你計(jì)算的理由.

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