Question

如圖，△ABC中，∠C=90°，AD是角平分線，DE⊥AB，垂足是E． 
（1）證明：AE=AC； 
（2）連接CE，問AD與CE垂直嗎？說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據角平分線的性質得到DC=DE，然后根據“HL”可證得Rt△ACD≌Rt△AED，即可得到AC=AE；
（2）由Rt△ACD≌Rt△AED得到∠CAD=∠EAD，AE=AC，根據等呀哦三角形的判定方法得到△AEC為等腰三角形，然后根據等腰三角形的性質可得到AF⊥EC．

解答：證明 （1）∵∠C=90°，AD是角平分線，DE⊥AB，
∴DC=DE，
在Rt△ACD和Rt△AED中

DC=DE AD=AD

，
∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL），
∴AC=AE；
（2）AD與CE垂直．理由如下：
AD與CE相交于F，如圖，
∵Rt△ACD≌Rt△AED，
∴∠CAD=∠EAD，AE=AC，
∴AF為等腰三角形AEC頂點的平分線，
∴AF⊥EC，
即AD與CE垂直．

點評：本題考查了直角全等三角形的判定與性質：有一組直角邊和一組斜邊對應相等的兩個直角三角形全等；全等三角形的對應邊相等，對應角相等．也考查了角平分線定理以及等腰三角形的判定與性質．