Question

【題目】閱讀下面材料：在數學課上，老師提出如下問題：

已知：如圖，CD是△ABC的高，

尺規(guī)作圖：在線段CD上求作點P，使∠APB＝45°（保留作圖痕跡，寫出作法），

請回答：你推出∠APB＝45°的依據是 　　　　　　　　　　　　　　　　　 ．

Answer 1

【答案】作圖及作法見解析；一條弧所對的圓周角等于它所對圓心角的一半

【解析】

先作出AB的垂直平分線GH交AB于E，然后在GH上截取EF=AE，則有∠AFB=90°，再以F為圓心，AF的長為半徑畫圓交CD于一點即為點P，根據圓周角定理可得出∠APB=∠AFB=45°．

解：如圖，
（1）分別以點A和點B為圓心，大于AB的長為半徑作弧，兩弧相交于G、H兩點；
（2）作直線GH交AB于點E；
（3）在直線GH截取EF=AE；
（4）以點F為圓心，AF的長為半徑畫圓交CD于點P．

則點P即為所求．

由作法可知GH垂直平分AB，AE=EF=BE，得到∠AFB=90°，

∴根據圓周角定理得到∠APB=∠AFB=45°．
故答案為：一條弧所對的圓周角等于它所對圓心角的一半．