Question

如圖，CD是⊙O的直徑，點A是半圓上的三等分點，B是弧AD的中點，P點為直線CD上的一個動點，當CD=4時，
求：（1）AP+BP的最小值．
（2）AP-BP的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（1）本題是要在MN上找一點P，使PA+PB的值最小，設A′是A關于MN的對稱點，連接A′B，與MN的交點即為點P．此時PA+PB=A′B是最小值，可證△OA′B是等腰直角三角形，從而得出結(jié)果．
（2）連接AO，BO，AB，過點A作AN⊥OB，利用AP-BP最大值=AB求出即可．
解答：解：（1）作點A關于MN的對稱點A′，連接A′B，交MN于點P，則PA+PB最小，
連接OA′，AA′．
∵點A與A′關于MN對稱，點A是半圓上的一個三等分點，
∴∠A′ON=∠AON=60°，PA=PA′，
∵點B是弧AN^的中點，
∴∠BON=30°，
∴∠A′OB=∠A′ON+∠BON=90°，
又∵OA=OA′=2，
∴A′B=2．
∴PA+PB=PA′+PB=A′B=2．

（2）連接AO，BO，AB，過點A作AN⊥OB，
∵CD是⊙O的直徑，點A是半圓上的三等分點，B是弧AD的中點，CD=4，
∴∠AOB=30°，AN=AO=1，
∴ON=，BN=2-，
∴AP-BP最大值=AB==2．
點評：此題主要考查了軸對稱最短線段問題以及垂徑定理和勾股定理等知識，正確確定P點的位置是解題的關鍵，確定點P的位置這類題在課本中有原題，因此加強課本題目的訓練至關重要．