Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，拋物線與x軸交于點A、B，與y軸交于點C，直線y=x+4經(jīng)過點A、C，點P為拋物線上位于直線AC上方的一個動點.

（1）求拋物線的表達式；

（2）如圖，當CP//AO時，求∠PAC的正切值；

（3）當以AP、AO為鄰邊的平行四邊形第四個頂點恰好也在拋物線上時，求出此時點P的坐標.

Answer 1

【答案】（1）拋物線的表達式為；（2）；（3）P點的坐標是.

【解析】分析：

（1）由題意易得點A、C的坐標分別為（-4，0），（0，4），將這兩點坐標代入拋物線列出方程組，解得b、c的值即可求得拋物線的解析式；

（2）如下圖，作PH⊥AC于H，連接OP，由已知條件先求得PC=2，AC=，結(jié)合S△ABC=S△OPC，可求得PH=，再由OA=OC得到∠CAO=45°，結(jié)合CP∥OA可得∠PCA=45°，即可得到CH=PH=，由此可得AH=，這樣在Rt△APH中由tan∠PAC=即可求得所求答案了；

（3）如圖，當四邊形AOPQ為符合要求的平行四邊形時，則此時PQ=AO=4，且點P、Q關(guān)于拋物線的對稱軸x=-1對稱，由此可得點P的橫坐標為-3，代入拋物線解析即可求得此時的點P的坐標.

詳解：

（1）∵直線y=x+4經(jīng)過點A、C，點A在x軸上，點C在y軸上

∴A點坐標是（﹣4，0），點C坐標是（0，4），

又∵拋物線過A，C兩點，

∴

解得，

∴拋物線的表達式為；

（2）作PH⊥AC于H，

∵點C、P在拋物線上，CP//AO， C（0，4），A（-4，0）

∴P（-2,4），AC=，S△ABC=S△OPC，

∴PC=2，，

∴PH=，

∵A（﹣4，0），C（0，4），

∴∠CAO=45°.

∵CP//AO，

∴∠ACP=∠CAO=45°，

∵PH⊥AC，

∴CH=PH=，

∴.

∴；

（3）∵，

∴拋物線的對稱軸為直線，

∵以AP，AO為鄰邊的平行四邊形的第四個頂點Q恰好也在拋物線上，

∴PQ∥AO，且PQ=AO=4．

∵P，Q都在拋物線上，

∴P，Q關(guān)于直線對稱，

∴P點的橫坐標是﹣3，

∵當x=﹣3時，，

∴P點的坐標是.