Question

已知：RT△ABC與RT△DEF中，∠ACB=∠EDF=90°，∠DEF=45°，EF=8cm，AC=16cm，BC=12cm．現(xiàn)將RT△ABC和RT△DEF按圖1的方式擺放，使點C與點E重合，點B、C（E）、F在同一條直線上，并按如下方式運動．
運動一：如圖2，△ABC從圖1的位置出發(fā)，以1cm/s的速度沿EF方向向右勻速運動，DE與AC相交于點Q，當(dāng)點Q與點D重合時暫停運動；
運動二：在運動一的基礎(chǔ)上，如圖3，RT△ABC繞著點C順時針旋轉(zhuǎn)，CA與DF交于點Q，CB與DE交于點P，此時點Q在DF上勻速運動，速度為，當(dāng)QC⊥DF時暫停旋轉(zhuǎn)；
運動三：在運動二的基礎(chǔ)上，如圖4，RT△ABC以1cm/s的速度沿EF向終點F勻速運動，直到點C與點F重合時為止．
設(shè)運動時間為t（s），中間的暫停不計時，
解答下列問題
（1）在RT△ABC從運動一到最后運動三結(jié)束時，整個過程共耗時______s；
（2）在整個運動過程中，設(shè)RT△ABC與RT△DEF的重疊部分的面積為S（cm²），求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式，并直接寫出自變量t的取值范圍；
（3）在整個運動過程中，是否存在某一時刻，點Q正好在線段AB的中垂線上，若存在，求出此時t的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）運動一，停止時，EC=4cm，用時為：4÷1=4秒；運動二，停止時，DQ=2cm，用時為：2÷=2秒；運動三，點C與點F重合時，CF=4cm，用時為：4÷1=4秒；綜上，總用時為：4+2+4=10（秒）；
（2）運動一，RT△ABC與RT△DEF的重疊部分為直角△QCE的面積，表示出即可；運動二，連接CD，可得∠E=∠CDQ，∠ECP=∠ECQ，EC=DC，所以△ECP≌△DCQ，RT△ABC與RT△DEF的重疊部分不變：y=8（4＜t＜6）；運動三，四邊形QDPC為矩形，CF=4-（t-6）=10-t，EC=8-CF=t-2，所以，S_矩形QDPC=（t-2）×（10-t）=t²+6t-10；
（3）點Q在線段AB的中垂線上，連接BQ，可得AQ=QB，所以，AC-CQ=，又AC=16cm，BC=12cm，得，CQ=3.5cm，又由∠DEF=45°，所以，EC=3.5cm，解答出即可．
解答：解：（1）根據(jù)題意得，
運動一：
∵△DEF是等腰三角形，∠ACB=90°，EF=8cm，
∴EC=4cm，
∴運動一所用時間為：4÷1=4（秒），
運動二：
∵當(dāng)QC⊥DF時暫停旋轉(zhuǎn)，
∵CD=CF，
∴DQ=QF=2cm
∴運動二所用時間為：2=2（秒），
運動三：
∵CF=4cm，
∴運動三所用的時間為：4÷1=4（秒），
∴整個過程共耗時4+2+4=10（秒）；
故答案為：10；

（2）運動一：如圖2，
設(shè)EC為tcm，則CQ為tcm，
∴S_△ECQ=×t×t，
∴S與t之間的函數(shù)關(guān)系式為：y=t²（0≤t≤4），
運動二：如圖3，
連接CD，在△ECP和△DCQ中，
∵
∴△ECP≌△DCQ（ASA），
∴S與t之間的函數(shù)關(guān)系式為：y=8（4＜t＜6），
運動三：如圖4，
四邊形QDPC為矩形，
∴CF=4-（t-6）=10-t，
EC=8-CF=t-2，
∴S_矩形QDPC=（t-2）×（10-t），
=t²+6t-10；
S與t之間的函數(shù)關(guān)系式為：y=t²+6t-10（6≤t≤10）；

（3）存在點Q，理由如下：
如圖5，運動一：
∵點Q在線段AB的中垂線上，連接BQ，
∴AQ=QB，
∴AC-CQ=，
又∵AC=16cm，BC=12cm，
解得，CQ=3.5cm，
∵∠DEF=45°，
∴EC=3.5cm，
此時，t為：3.5÷1=3.5秒．
如圖6，運動二：
同理：CQ=3.5，
過點C作CM⊥DF交DF于點M，CM=2，
在Rt△QCM中，QM==，
∴DQ=2-，
∴t=（2-）÷+4=6-；
運動三時，CQ最大為2＜3.5，
所以無解．
綜上，t=3.5或6-時，點Q正好在線段AB的中垂線上．
點評：本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、線段的垂直平分線、旋轉(zhuǎn)、平移的性質(zhì)等，要注意的是（2）中，要根據(jù)P點的不同位置進(jìn)行分類求解；（3）中要確定點Q的位置，是解答的關(guān)鍵．