Question

【題目】已知：如圖，在△ABC 中，∠C=90°，∠BAC 的平分線 AD 交 BC于點(diǎn) D，過(guò)點(diǎn) D 作 DE⊥AD 交 AB 于點(diǎn) E，以 AE 為直徑作⊙O．

（1）求證：BC 是⊙O 的切線；

（2）若 AC=3，BC=4，求 BE 的長(zhǎng)．

（3）在（2）的條件中，求 cos∠EAD 的值．

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）；（3）

【解析】試題分析：（1）連接OD，由AE為直徑、DE⊥AD可得出點(diǎn)D在⊙O上且∠DAO=∠ADO，根據(jù)AD平分∠CAB可得出∠CAD=∠DAO=∠ADO，由“內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行”可得出AC∥DO，再結(jié)合∠C=90°即可得出∠ODB=90°，進(jìn)而即可證出BC是⊙O的切線；

（2）在Rt△ACB中，利用勾股定理可求出AB的長(zhǎng)度，設(shè)OD=r，則BO=5﹣r，由OD∥AC可得出，代入數(shù)據(jù)即可求出r值，再根據(jù)BE=AB﹣AE即可求出BE的長(zhǎng)度．

（3）根據(jù)三角函數(shù)解答即可．

試題解析：（1）證明：連接OD，如圖所示．

在Rt△ADE中，點(diǎn)O為AE的中心，∴DO=AO=EO=AE，∴點(diǎn)D在⊙O上，且∠DAO=∠ADO．又∵AD平分∠CAB，∴∠CAD=∠DAO，∴∠ADO=∠CAD，∴AC∥DO．

∵∠C=90°，∴∠ODB=90°，即OD⊥BC．又∵OD為半徑，∴BC是⊙O的切線；

（2）在Rt△ACB中，∵AC=3，BC=4，∴AB=5．設(shè)OD=r，則BO=5﹣r．

∵OD∥AC，∴△BDO∽△BCA，∴，即，解得：r=，∴BE=AB﹣AE=5﹣=．

（3）∵△BDO∽△BCA，∴，即，BD=，∴CD=BC﹣BD=，∴AD=，∴cos∠EAD=．