Question

如圖，在平面直角坐標系xOy中，直線y=x+1與交于點A，分別交x軸于點B和點C，點D是直線AC上的一個動點．
（1）求點A的坐標．
（2）當△CBD為等腰三角形時，求點D的坐標．
（3）在直線AB上是否存在點E，使得以點E，D，O，A為頂點的四邊形是平行四邊形？如果存在，直接寫出有幾種情況．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用直線y=x+1與交于點A，直接聯(lián)立函數(shù)解析式求出即可；
（2）當△CBD為等腰三角形時，有三種情況當BD₁=D₁C時，當BC=BD₂時，當CD₃=BC分別得出即可；
（3）以點E，D，O，A為頂點的四邊形是平行四邊形有三種情形．
解答：解：（1）由題意，得：，
解得：，
∴點A的坐標為（，）．

（2）當△CBD為等腰三角形時，有以下三種情況，如圖（1）．設動點D的坐標為（x，y）．
在y=x+1中，當y=0時，x+1=0，
∴x=-1，點B的坐標為（-1，0）．
在y=-+3中，當y=0時，-x+3=0，
∴x=4，
點C的坐標為（4，0）．
∴BC=5．
①當BD₁=D₁C時，過點D₁作D₁M₁⊥x軸，垂足為點M₁，則BM₁=M₁C=BC．
∴BM₁=，OM₁=-1=，x=，
∴y=-×+3=，點D₁的坐標為（，）．
②當BC=BD₂時，過點D₂作D₂M₂⊥x軸，垂足為點M₂，則D₂M₂²+M₂B²=D₂B²．
∵M₂B=-x-1，D₂M₂=-x+3，D₂B=5，
∴（-x-1）²+（-x+3）²=5²，
解得：x₁=-，x₂=4（舍去）．此時，y=-×（-）+3=，
∴D₂的坐標為（-，），
③當CD₃=BC時，CB=5，CD₃=5，此時D₃坐標為（0，3），
當CD₄=BC時，BC=CD₄，=5，M₄D₄=OD₃=3，CO=CM₄=4，則D點坐標為（8，-3）．（6分）
由此可得點D的坐標分別為D₁（，），D₂（-，），D₃（0，3），D₄（8，-3）．

（3）存在．以點E，D，O，A為頂點的四邊形是平行四邊形有三種情形．（8分）
點評：此題主要考查了等腰三角形的判定以及兩直線交點的求法以及平行四邊形的判定等知識，注意分類討論思想的應用不要漏解．