Question

如圖，在矩形紙片ABCD中，AB=6，BC=8．把△BCD沿對(duì)角線(xiàn)BD折疊，使點(diǎn)C落在C′處，BC′交AD于點(diǎn)G；E、F分別是C′D和BD上的點(diǎn)，線(xiàn)段EF交AD于點(diǎn)H，把△FDE沿EF折疊，使點(diǎn)D落在D′處，點(diǎn)D′恰好與點(diǎn)A重合．

（1）求證：△ABG≌△C′DG；

（2）求tan∠ABG的值；

（3）求EF的長(zhǎng)．

 

Answer 1

【答案】

（1）根據(jù)翻折變換的性質(zhì)可知∠C=∠BAG=90°，C′D=AB=CD，∠AGB=∠DGC′，故可得出結(jié)論；（2）；（3）

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)翻折變換的性質(zhì)可知∠C=∠BAG=90°，C′D=AB=CD，∠AGB=∠DGC′，故可得出結(jié)論；

（2）由（1）可知GD=GB，故AG+GB=AD，設(shè)AG=x，則GB=8-x，在Rt△ABG中利用勾股定理即可求出AG的長(zhǎng)，進(jìn)而得出tan∠ABG的值；

（3）由△AEF是△DEF翻折而成可知EF垂直平分AD，故HD=AD=4，再根據(jù)tan∠ABG即可得出EH的長(zhǎng)，同理可得HF是△ABD的中位線(xiàn)，故可得出HF的長(zhǎng)，由EF=EH+HF即可得出結(jié)論．

（1）∵△BDC′由△BDC翻折而成，

∴∠C=∠BAG=90°，C′D=AB=CD，∠AGB=∠DGC′，

∴∠ABG=∠ADE，

在△ABG與△C′DG中，

∴△ABG≌△C′DG；

（2）∵由（1）可知△ABG≌△C′DG，

∴GD=GB，

∴AG+GB=AD，設(shè)AG=x，則GB=8-x，

在Rt△ABG中，

（3）∵△AEF是△DEF翻折而成，

∴EF垂直平分AD，

∴HD=AD=4，

∵EF垂直平分AD，AB⊥AD，

∴HF是△ABD的中位線(xiàn)，

考點(diǎn)：翻折變換，全等三角形的判定與性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，解直角三角形

點(diǎn)評(píng)：熟知折疊是一種對(duì)稱(chēng)變換，它屬于軸對(duì)稱(chēng)，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角相等是解答此題的關(guān)鍵．