Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線過(guò)點(diǎn)，,與軸交于點(diǎn)．

（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；

（2）若點(diǎn)在拋物線的對(duì)稱軸上，當(dāng)的周長(zhǎng)最小時(shí)，求點(diǎn) 的坐標(biāo);

（3）在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn),使成為以為直角邊的直角三角形？若存在,求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】(1)y=；(2)(，)；(3)，.

【解析】

試題分析：(1)利用待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式；(2)首先求出對(duì)稱軸，求出點(diǎn)A關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱的點(diǎn)E的坐標(biāo)，連接CE交對(duì)稱軸與點(diǎn)D，則△ACD的周長(zhǎng)最小，根據(jù)題意求出直線CE的解析式，然后得出點(diǎn)D的坐標(biāo)；(3)分成以A為直角頂點(diǎn)和以C為直角頂點(diǎn)兩種情況分別進(jìn)行計(jì)算，得出點(diǎn)P的坐標(biāo).

試題解析：(1)、∵拋物線過(guò)點(diǎn)，，

∴∴∴拋物線的函數(shù)關(guān)系式為.

(2)、∵，∴拋物線的對(duì)稱軸為直線.

設(shè)點(diǎn)為點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，則點(diǎn)的坐標(biāo)為.

連接交直線于點(diǎn)，此時(shí)的周長(zhǎng)最小.

設(shè)直線的函數(shù)表達(dá)式為，代入的坐標(biāo)，

則解得所以，直線的函數(shù)表達(dá)式為.

當(dāng)時(shí)，.∴ 點(diǎn)的坐標(biāo)為.

(3)、存在.

①當(dāng)點(diǎn)為直角頂點(diǎn)時(shí)，過(guò)點(diǎn)作的垂線交軸于點(diǎn)，交對(duì)稱軸于點(diǎn).

∵，，

∴.

∵，，∴.

∴.

∴.∴.

∴點(diǎn)的坐標(biāo)為.

設(shè)直線對(duì)應(yīng)的一次函數(shù)的表達(dá)式為，代入的坐標(biāo)，

則解得

所以，直線的函數(shù)表達(dá)式為.令，則.∴點(diǎn)的坐標(biāo)為.

②當(dāng)點(diǎn)為直角頂點(diǎn)時(shí)，過(guò)點(diǎn)作的垂線交對(duì)稱軸于點(diǎn)，交軸于點(diǎn).

與①同理可得是等腰直角三角形，∴.

∴點(diǎn)的坐標(biāo)為.∵，，

∴.

∴直線的函數(shù)表達(dá)式為.

令，則.∴點(diǎn)的坐標(biāo)為.

綜上，在對(duì)稱軸上存在點(diǎn)，，使成為以為直角邊的直角三角形．