Question

6．如圖所示，四邊形ABCD是圓O的內(nèi)接四邊形，AB的延長(zhǎng)線與DC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E，且∠D=∠E．
（1）求證：∠ADC=∠CBE；
（2）求證：CB=CE；
（3）設(shè)AD不是圓O的直徑，AD的中點(diǎn)為M，且MB=MC，證明：△ADE為等邊三角形．

Answer 1

分析 （1）連接AC，BD，由圓周角定理得出∠ACB=∠ADB，∠BAC=∠BDC，再由∠CBE+∠ABC=180°得出∠CBE=∠ACB+∠BAC=∠ADB+∠BDC=∠D，進(jìn)而可得出結(jié)論；
（2）由圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得出∠D=∠CBE，再由∠D=∠E，故可得出∠CBE=∠E，進(jìn)而得出結(jié)論；
（3）設(shè)BC的中點(diǎn)為N，連接MN，由等腰三角形的性質(zhì)得出MN⊥BC，故點(diǎn)O在直線MN上，因?yàn)锳D不是圓O的直徑，M為AD的中點(diǎn)可得出OM⊥AD，MN⊥AD，BC∥AD，故可得出∠A=∠CBE，再由∠A=∠E可得出∠D=∠E，進(jìn)而可得出結(jié)論．

解答 （1）證明：連接AC，BD，
∵∠ACB=∠ADB，∠BAC=∠BDC，∠ACB+∠BAC+∠ABC=180°，
又∵∠CBE+∠ABC=180°，
∴∠CBE=∠ACB+∠BAC=∠ADB+∠BDC=∠D，
∴∠D=∠CBE；

（2）證明：∵∠D=∠CBE，∠D=∠E，
∴∠CBE=∠E，
∴CB=CE；

（3）解：設(shè)BC的中點(diǎn)為N，連接MN，
∵BM=MC，
∴MN⊥BC，
∴點(diǎn)O在直線MN上．
又∵AD不是圓O的直徑，M為AD的中點(diǎn)，
∴OM⊥AD，
∴MN⊥AD，
∴BC∥AD，
∴∠A=∠CBE．
又∵∠A=∠E，
∴∠D=∠E，
∴△ADE為等邊三角形．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的是圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，熟知圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)是解答此題的關(guān)鍵．