Question

如圖，四邊形ABCD是正方形，點N是CD的中點，M是AD邊上不同于點A、D的點，若，求證：∠NMB=∠MBC．

Answer 1

【答案】分析：分別延長BC、MN相交于點E，設(shè)AM=1，根據(jù)，求出BM=，則；所以DM=AD-AM=2，利用Rt△DMN可求得，MN=，根據(jù)△MDN≌△ECN（ASA），可求得CE=MD=2、，ME=MN+NE=5、BE=BC+CE=5，所以ME=BE即∠NMB=∠MBC．
解答：證明：證法一：如圖，
分別延長BC、MN相交于點E，
設(shè)AM=1，
∵，
∴，
∴，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴DM=AD-AM=2，且，
在Rt△DMN中，，
又∵∠MDN=∠ECN=90°，∠MND=∠ENC，
∴△MDN≌△ECN（ASA），
∴CE=MD=2，，
∴ME=MN+NE=5，BE=BC+CE=5，
∴ME=BE，
∴∠NMB=∠MBC；

證法二：設(shè)AM=1，同證法一；
如圖，
將△ABM繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°得到△BCE，連接ME，
∵∠BCE=∠BCD=90°，
∴∠NCE是平角，即點N、C、E三點共線，
∴∠BMA=∠BECCE=AM=1、BE=BM，
∴∠BME=∠BEM，
∵，
∴∠NME=∠NEM，
∴∠BME+∠NME=∠BEM+∠NEM，
∴∠BMN=∠BEC=∠AMB，
又∵∠AMB=∠MBC，
∴∠BMN=∠MBC．
點評：主要考查了正方形的性質(zhì)和利用等腰三角形的性質(zhì)來求證等角的方法．要掌握正方形中一些特殊的性質(zhì)：四邊相等，四角相等，對角線相等且互相平分．分別求出BE，ME的長度是解題的關(guān)鍵．