Question

如圖，已知AB是⊙O的直徑，點C在⊙O上，過點C的直線與AB的延長線交于點P，AC＝PC，∠COB＝2∠PCB．

(1)求證：PC是⊙O的切線；

(2)求證：BC＝AB；

(3)點M是弧AB的中點，CM交AB于點N，若AB＝4，求MN·MC的值．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)∵OA＝OC，∴∠A＝∠ACO 　　∵∠COB＝2∠A，∠COB＝2∠PCB 　　∴∠A＝∠ACO＝∠PCB　1分 　　∵AB是⊙O的直徑 　　∴∠ACO＋∠OCB＝90°　2分 　　∴∠PCB＋∠OCB＝90°，即OC⊥CP　3分 　　∵OC是⊙O的半徑 　　∴PC是⊙O的切線　4分 　　(2)∵PC＝AC 　　∴∠A＝∠P 　　∴∠A＝∠ACO＝∠PCB＝∠P 　　∵∠COB＝∠A＋∠ACO，∠CBO＝∠P＋∠PCB 　　∴∠CBO＝∠COB　5分 　　∴BC＝OC 　　∴BC＝AB　6分 　　(3)連接MA，MB 　　∵點M是弧AB的中點 　　∴弧AM＝弧BM 　　∴∠ACM＝∠BCM　7分 　　∵∠ACM＝∠ABM 　　∴∠BCM＝∠ABM 　　∵∠BMC＝∠BMN 　　∴△MBN∽△MCB 　　∴ 　　∴BM2＝MC·MN　8分 　　∵AB是⊙O的直徑，弧AM＝弧BM 　　∴∠AMB＝90°，AM＝BM 　　∵AB＝4∴BM＝　9分 　　∴MC·MN＝BM2＝8　10分