Question

已知拋物線上有不同的兩點(diǎn)E(k＋3，－k²＋1和F(－k－1，－k²＋1)．

(1)求拋物線的解析式．

(2)如圖，拋物線與x軸和y軸的正半軸分別交于點(diǎn)A和B，M為AB的中點(diǎn)，∠PMQ在AB的同側(cè)以M為中心旋轉(zhuǎn)，且∠PMQ＝45°，MP交y軸于點(diǎn)C，MQ交x軸于點(diǎn)D．設(shè)AD的長(zhǎng)為m(m＞0)，BC的長(zhǎng)為n，求n和m之間的函數(shù)關(guān)系式．

(3)當(dāng)m，n為何值時(shí)，∠PMQ的邊過(guò)點(diǎn)F．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)拋物線的對(duì)稱軸為．　　(1分) 　　∵拋物線上不同兩個(gè)點(diǎn)E(k＋3，－k2＋)1和F(－k－1，－k2＋1)的縱坐標(biāo)相同， 　　∴點(diǎn)E和點(diǎn)F關(guān)于拋物線對(duì)稱軸對(duì)稱，則，且k≠－2． 　　∴拋物線的解析式為．　　(2分) 　　(2)拋物線與x軸的交點(diǎn)為A(4，0)，與y軸的交點(diǎn)為B(0，4)， 　　∴AB＝，AM＝BM＝．　　(3分) 　　在∠PMQ繞點(diǎn)M在AB同側(cè)旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，∠MBC＝∠DAM＝∠PMQ＝45°， 　　在△BCM中，∠BMC＋∠BCM＋∠MBC＝180°，即∠BMC＋∠BCM＝135°， 　　在直線AB上，∠BMC＋∠PMQ＋∠AMD＝180°，即∠BMC＋∠AMD＝135°． 　　∴∠BCM＝∠AMD． 　　故△BCM∽△AMD．　　(4分) 　　∴，即，． 　　故n和m之間的函數(shù)關(guān)系式為(m＞0)．　　(5分) 　　(3)∵F(－k－1，－k2＋1)在上， 　　∴， 　　化簡(jiǎn)得，k2－4k＋3＝0，∴k1＝1，k2＝3． 　　即F1(－2，0)或F2(－4，－8)．　　(6分) 　�、�MF過(guò)M(2，2)和F1(－2，0)，設(shè)MF為y＝kx＋b， 　　則解得，∴直線MF的解析式為． 　　直線MF與x軸交點(diǎn)為(－2，0)，與y軸交點(diǎn)為(0，1)． 　　若MP過(guò)點(diǎn)F(－2，0)，則n＝4－1＝3，m＝； 　　若MQ過(guò)點(diǎn)F(－2，0)，則m＝4－(－2)＝6，n＝．　　(7分) 　　②MF過(guò)M(2，2)和F1(－4，－8)，設(shè)MF為y＝kx＋b， 　　則解得，∴直線MF的解析式為． 　　直線MF與x軸交點(diǎn)為(，0)，與y軸交點(diǎn)為(0，)． 　　若MP過(guò)點(diǎn)F(－4，－8)，則n＝4－()＝，m＝； 　　若MQ過(guò)點(diǎn)F(－4，－8)，則m＝4－＝，n＝．　　(8分) 　　故當(dāng)或時(shí)，∠PMQ的邊過(guò)點(diǎn)F．