Question

如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，，∠ABC=45°，AE⊥BC于點E，BF⊥AC于點F，交AE于點G，AD=BE，連接DG、CG．以下結論：①△BEG≌△AEC；②∠GAC=∠GCA；③DG=DC；④G為AE中點時，△AGC的面積有最大值．其中正確的結論有（ ）

A．1個
B．2個
C．3個
D．4個

Answer 1

【答案】分析：根據(jù)ASA可判定①△BEG≌△AEC，用反證法證明②∠GAC≠∠GCA，G為AE中點時，GF最長，故此時△AGC的面積有最大值．
解答：解：根據(jù)BE=AE，∠GBE=∠CAE，∠BEG=∠CEA可判定①△BEG≌△AEC；
用反證法證明②∠GAC≠∠GCA，假設∠GAC=∠GCA，則有△AGC為等腰三角形，F(xiàn)為AC的中點，又BF⊥AC，可證得AB=BC，與題設不符；
由①知△BEG≌△AEC 所以GE=CE 連接ED、四邊形ABED為平行四邊形，
∵∠ABC=45°，AE⊥BC于點E，
∴∠GED=∠CED=45°，
∴△GED≌△CED，
∴DG=DC；
④設AG為X，則易求出GE=EC=2-X 因此，S_△AGC=S_AEC-S_GEC=-+x=-（x²-2x）
=-（x²-2x+1-1）=-（x-1）²+，當X取1時，面積最大，所以AG等于1，所以G是AE中點，
故G為AE中點時，GF最長，故此時△AGC的面積有最大值．
故正確的個數(shù)有3個．
故選C．
點評：本題考查了梯形，全等三角形的判定與性質及線段垂直平分線的性質，難度較大，注意這些知識的熟練掌握與靈活運用是關鍵．