Question

【題目】已知：如圖，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠D=90°，AD=CD=2，點(diǎn)E在邊AD上（不與點(diǎn)A、D重合），∠CEB=45°，EB與對(duì)角線AC相交于點(diǎn)F，設(shè)DE=x．

（1）用含x的代數(shù)式表示線段CF的長(zhǎng)；

（2）如果把△CAE的周長(zhǎng)記作C△CAE，△BAF的周長(zhǎng)記作C△BAF，設(shè)=y，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出它的定義域；

（3）當(dāng)∠ABE的正切值是時(shí)，求AB的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）；（2）y=（0＜x＜2），(3).

【解析】試題分析：（1）根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)，求得∠DAC=∠ACD=45°，進(jìn)而根據(jù)兩角對(duì)應(yīng)相等的兩三角形相似，可得△CEF∽△CAE，然后根據(jù)相似三角形的性質(zhì)和勾股定理可求解；

（2）根據(jù)相似三角形的判定與性質(zhì)，由三角形的周長(zhǎng)比可求解；

（3）由（2）中的相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例，可求出AB的關(guān)系，然后可由∠ABE的正切值求解.

試題解析：（1）∵AD=CD．

∴∠DAC=∠ACD=45°，

∵∠CEB=45°，

∴∠DAC=∠CEB，

∵∠ECA=∠ECA，

∴△CEF∽△CAE，

∴，

在Rt△CDE中，根據(jù)勾股定理得，CE=，

∵CA=2，

∴，

∴CF=；

（2）∵∠CFE=∠BFA，∠CEB=∠CAB，

∴∠ECA=180°﹣∠CEB﹣∠CFE=180°﹣∠CAB﹣∠BFA，

∵∠ABF=180°﹣∠CAB﹣∠AFB，

∴∠ECA=∠ABF，

∵∠CAE=∠ABF=45°，

∴△CEA∽△BFA，

∴y====（0＜x＜2），

（3）由（2）知，△CEA∽△BFA，

∴，

∴，

∴AB=x+2，

∵∠ABE的正切值是，

∴tan∠ABE===，

∴x=，

∴AB=x+2=．