Question

已知：如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，點(diǎn)D是斜邊AB上的一點(diǎn)，且CD=AC=3，AB=4，求cosB，sin∠ADC及cos

1

2

∠DCA的值．

Answer 1

分析：在直角三角形ABC中，由直角邊AC及斜邊AB的長(zhǎng)，利用勾股定理求出直角邊BC的長(zhǎng)，根據(jù)銳角三角形函數(shù)的定義：一個(gè)角的余弦等于這個(gè)角的鄰邊比斜邊，可求出cosB的值，同時(shí)A和B互余，可得sinA=cosB，由cosB的值得出sinA的值，由CD=AC，根據(jù)等邊對(duì)等角可得∠ADC=∠A，故sin∠ADC的值即為sinA的值，過(guò)C作底邊AD的垂線(xiàn)，根據(jù)三線(xiàn)合一得到CE為頂角的平分線(xiàn)，再由垂直定義得到∠AEC=90°，可得三角形AEC為直角三角形，根據(jù)直角三角形的兩個(gè)銳角互余得出cos

1

2

∠ACD即cos∠ACE，即為sinA的值，由sinA的值即可求出所求的cos

1

2

∠ACD的值．

解答：解：在Rt△ABC中，
∵∠ACB=90°，AC=3，AB=4，
∴BC=

AB2-AC2

=

7

，…（1分）
∴cosB=sinA=

BC

AB

=

7

4

；…（2分）
∵CD=AC，
∴∠ADC=∠A，
∴sin∠ADC=sinA=

7

4

；…（3分）
過(guò)點(diǎn)C作CE⊥AD于E，
∴∠AEC=90°，
∴∠ACE+∠A=90°，
又CD=AC，CE⊥AD，
∴CE為∠ACD的平分線(xiàn)，即∠ACE=

1

2

∠DCA，
∴cos

1

2

∠DCA=cos∠ACE=sinA=

7

4

． …（5分）

點(diǎn)評(píng)：此題屬于解直角三角形的題型，涉及的知識(shí)有：銳角三角函數(shù)定義，勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)，以及直角三角形的性質(zhì)，其中當(dāng)A和B互余時(shí)，根據(jù)銳角三角形函數(shù)定義可得sinA=cosB，cosA=sinB，熟練掌握此性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．