Question

【題目】如圖，在ABC中，已知AB＝BC＝10，AC＝4，AD為邊BC上的高線，P為邊AD上一點，連結(jié)BP，E為線段BP上一點，過D、P、E三點的圓交邊BC于F，連結(jié)EF．

（1）求AD的長；

（2）求證：△BEF∽△BDP；

（3）連結(jié)DE，若DP＝3，當(dāng)△DEP為等腰三角形時，求BF的長；

（4）把△DEP沿著直線DP翻折得到△DGP，若G落在邊AC上，且DG∥BP，記△APG、△PDG、△GDC的面積分別為S1、S2、S3，則S1：S2：S3的值為　 　．

Answer 1

【答案】（1）AD＝8，見解析；（2）△BEF∽△BDP，見解析；（3）BF的長為、、，見解析；（4）S1：S2：S3＝3：3：2，見解析.

【解析】

（1）設(shè)CD=x，則BD=10-x，在Rt△ABD和Rt△ACD中利用勾股定理列方程即可求出x，進而求出AD，
（2）由圓內(nèi)接四邊形性質(zhì)可知∠BFE=∠BPD，即可證明△BEF∽△BDP
（3）因為DP=3，由②BP=3，可得分三種情況PE=DP、DE=PE、DP=DE利用直角三角形和等腰三角形性質(zhì)先求出EB，再根據(jù)即可求解；

（4）連接EG交PD于M點，DG∥BP和折疊的性質(zhì)可得∠EPD=∠EDF=∠PDG，EP=PG=ED=DG，即可得出E是BP中點，進而求出，由，即可求出PM=2，PD=4，AP=4，再利用三角形面積求法即可解答．

解：（1）設(shè)CD＝x，則BD＝10﹣x，

在Rt△ABD和Rt△ACD中，AD2＝AB2﹣BD2＝AC2﹣CD2，

依題意得：，

解得x＝6，

∴AD＝＝8．

（2）∵四邊形BFEP是圓內(nèi)接四邊形，

∴∠EFB＝∠DPB，

又∵∠FBE＝∠PDB，

∴△BEF∽△BDP．

（3）由（1）得BD＝6，

∵PD＝3，

∴BP＝＝，

∴cos∠PBD＝，

當(dāng)△DEP為等腰三角形時，有三種情況：

Ⅰ．當(dāng)PE＝DP＝3 時，BE＝BP﹣EP＝，

Ⅱ．當(dāng)DE＝PE時，E是BP中點，BE＝，

Ⅲ．當(dāng)DP＝DE＝3時，PE＝2×PDcos∠BPD＝＝，

若DP＝3，當(dāng)△DEP為等腰三角形時，BF的長為、、．

（4）連接EG交PD于M點，

∵DG∥BP

∴∠EPD＝∠EDF＝∠PDG，

∴PG＝DG，

∵EP＝PG，ED＝DG，

∴四邊形PEDG是菱形，

∴EM＝MG，PM＝DM，EG⊥AD，

又∵BD⊥AD，

∴EG∥BC，

∴EM＝BD＝3＝MG，，

∴，

∴AM＝6，

∴DM＝PM＝2，

∴PD＝4，AP＝4，

∴S△APG＝＝×4×3＝6，

S△PDG＝＝×4×3＝6，

S△GDC＝＝＝4．

∴S1：S2：S3＝6：6：2＝3：3：2．