Question

如圖，已知二次函數(shù)的圖像過點(diǎn)A(－4，3），B(4，4).

 （1）求二次函數(shù)的解析式：

 （2）求證：△ACB是直角三角形；

 （3）若點(diǎn)P在第二象限，且是拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作PH垂直x軸于點(diǎn)H，是否存在以P、H、D、為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由。

 

 

 

Answer 1

【答案】

解：

（1）將A(－4，3），B(4，4)代人中，

     ， 整理得：  解得

    ∴二次函數(shù)的解析式為：，即：。                         

（2）由 整理得 ，解得。

     ∴C （－2，0），D 。

     ∴AC²=4+9 ，BC²=36+16，AC²+ BC²=13+52=65，AB²=64+1=65，

     ∴ AC²+ BC²=AB² �！唷鰽CB是直角三角形。

（3）設(shè)（x<0），則PH=， HD=。

又∵AC=， BC=，

 ①當(dāng)△PHD∽△ACB時(shí)有：，即：，

整理得 ，解得（舍去），此時(shí)，。

    ∴。

 ②當(dāng)△DHP∽△ACB時(shí)有：， 即：，

 整理  ，解得（舍去），此時(shí)，。

    ∴。

 綜上所述，滿足條件的點(diǎn)有兩個(gè)即，。

【解析】二次函數(shù)綜合題，曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)與方程的關(guān)系，勾股定理和逆定理的應(yīng)用，相似三角形的判定性質(zhì)，坐標(biāo)系中點(diǎn)的坐標(biāo)的特征，拋物線與x軸的交點(diǎn)，解一元二次方程和二元一次方程組。

【分析】（1）求二次函數(shù)的解析式，也就是要求中a、b的值，只要把A(-4，3），B(4，4)代人即可。

（2）求證△ACB是直角三角形，只要求出AC，BC，AB的長(zhǎng)度，然后用勾股定理及其逆定理去考察。

（3）分兩種情況進(jìn)行討論，①△DHP∽△BCA，②△PHD∽△BCA，然后分別利用相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例的性質(zhì)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)。