【答案】
分析:(1)因?yàn)閽佄锞過A、B、C三點(diǎn),所以此三點(diǎn)的坐標(biāo)使拋物線的解析式成立.
(2)①此題要分作兩種情況進(jìn)行討論:
一、當(dāng)P點(diǎn)位于原點(diǎn)左側(cè),線段OA上;此時0≤t<1,可用t表示出OP、BP的長,欲求△BPF的面積,關(guān)鍵要求出BP邊上的高,可過F作FD⊥x軸于D;由于∠CPF=90°,易證得△OPC∽△DFP,根據(jù)已知條件可知PF=PE=2PC,即兩個相似三角形的相似比為2,那么DF=2OP,由此可得到DF的長,以BP為底,DF為高,即可求得△BPF的面積表達(dá)式,也就得到了關(guān)于S、t的函數(shù)關(guān)系式;
二、當(dāng)P點(diǎn)位于原點(diǎn)右側(cè),線段BP上;此時1<t<6,可仿照一的方法進(jìn)行求解;
②根據(jù)①得到的S、t的函數(shù)關(guān)系式,及相應(yīng)的自變量的取值范圍,即可根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)求得S的最大值及對應(yīng)的t值,然后進(jìn)行比較即可得到結(jié)果.
(3)當(dāng)P位于線段OA上時,顯然△PFB不可能是直角三角形;由于∠BPF<∠CPF=90°,所以P不可能是直角頂點(diǎn),可分兩種情況進(jìn)行討論:
①F為直角頂點(diǎn),過F作FD⊥x軸于D,由(2)可知BP=6-t,DP=2OC=4,在Rt△OCP中,OP=t-1,由勾股定理易求得CP=t
2-2t+5,那么PF
2=(2CP)
2=4(t
2-2t+5);在Rt△PFB中,F(xiàn)D⊥PB,由射影定理可求得PB=PF
2÷PD=t
2-2t+5,而PB的另一個表達(dá)式為:PB=6-t,聯(lián)立兩式可得t
2-2t+5=6-t,即t=
;
②B為直角頂點(diǎn),那么此時的情況與(2)題類似,△PFB∽△CPO,且相似比為2,那么BP=2OC=4,即OP=OB-BP=1,此時t=2.
解答:解:(1)(法一)設(shè)拋物線的解析式為y=ax
2+bx+c(a≠0),把A(-1,0),B(5,0),C(0,2)三點(diǎn)代入解析式得:
,
解得
;
∴
;(3分)
(法二)設(shè)拋物線的解析式為y=a(x-5)(x+1),
把(0,2)代入解析式得:2=-5a,
∴
;
∴
,
即
;(3分)
(2)①過點(diǎn)F作FD⊥x軸于D,
當(dāng)點(diǎn)P在原點(diǎn)左側(cè)時,BP=6-t,OP=1-t;
在Rt△POC中,∠PCO+∠CPO=90°,
∵∠FPD+∠CPO=90°,
∴∠PCO=∠FPD;
∵∠POC=∠FDP,
∴△CPO∽△PFD,(5分)
∴
;
∵PF=PE=2PC,
∴FD=2PO=2(1-t);(6分)
∴S
△PBF=
=t
2-7t+6(0≤t<1);(8分)
當(dāng)點(diǎn)P在原點(diǎn)右側(cè)時,OP=t-1,BP=6-t;
∵△CPO∽△PFD,(9分)
∴FD=2(t-1);
∴S
△PBF=
=-t
2+7t-6(1<t<6);(11分)
②當(dāng)0≤t<1時,S=t
2-7t+6;
此時t在t=3.5的左側(cè),S隨t的增大而減小,則有:
當(dāng)t=0時,Smax=0-7×0+6=6;
當(dāng)1<t<6時,S=-t
2+7t-6;
由于1<3.5<6,故當(dāng)t=3.5時,Smax=-3.5×3.5+7×3.5+6=6.25;
綜上所述,當(dāng)t=3.5時,面積最大,且最大值為6.25.
(3)能;(12分)
①若F為直角頂點(diǎn),過F作FD⊥x軸于D,由(2)可知BP=6-t,DP=2OC=4,
在Rt△OCP中,OP=t-1,
由勾股定理易求得CP
2=t
2-2t+5,那
么PF
2=(2CP)
2=4(t
2-2t+5);
在Rt△PFB中,F(xiàn)D⊥PB,
由射影定理可求得PB=PF
2÷PD=t
2-2t+5,
而PB的另一個表達(dá)式為:PB=6-t,
聯(lián)立兩式可得t
2-2t+5=6-t,即t=
,
P點(diǎn)坐標(biāo)為(
,0),
則F點(diǎn)坐標(biāo)為:(
,
-1);
②B為直角頂點(diǎn),那么此時的情況與(2)題類似,△PFB∽△CPO,且相似比為2,
那么BP=2OC=4,即OP=OB-BP=1,此時t=2,
P點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0).FD=2(t-1)=2,
則F點(diǎn)坐標(biāo)為(5,2).(14分)
點(diǎn)評:此題考查了二次函數(shù)解析式的確定、以及三角形面積的求法、直角三角形的判定、相似三角形的判定和性質(zhì)等重要知識點(diǎn);在求有關(guān)動點(diǎn)問題時要注意分析題意分情況討論結(jié)果.