(2010•廈門)在平面直角坐標(biāo)系中,點O是坐標(biāo)原點,點P(m,-1)(m>0).連接OP,將線段OP繞點O按逆時針方向旋轉(zhuǎn)90°得到線段OM,且點M是拋物線y=ax2+bx+c的頂點.
(1)若m=1,拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過點(2,2),當(dāng)0≤x≤1時,求y的取值范圍;
(2)已知點A(1,0),若拋物線y=ax2+bx+c與y軸交于點B,直線AB與拋物線y=ax2+bx+c有且只有一個交點,請判斷△BOM的形狀,并說明理由.
【答案】分析:(1)分別過P、M作x、y軸的垂線,設(shè)垂足為Q、N;通過證△MON≌△OPQ,可求出MN、ON的長,即可得到M點的坐標(biāo);根據(jù)M點的坐標(biāo),即可求出拋物線的解析式;結(jié)合自變量的取值范圍及拋物線的對稱軸方程即可求得y的取值范圍;
(2)在(1)中已經(jīng)求得M(1,m),可用a、m表示出拋物線的解析式(頂點式),進而可求出B點的坐標(biāo);用待定系數(shù)法即可得到直線AB的解析式,聯(lián)立直線AB與拋物線的解析式,由于兩個函數(shù)只有一個交點,那么所得方程的△=0,由此可求出m、a的關(guān)系式,即可用m表示出B點的坐標(biāo),然后分別求出△BOM的邊長,然后判斷△BOM的形狀.
解答:解:(1)∵線段OP繞點O按逆時針方向旋轉(zhuǎn)90°得到線段OM
∴∠POM=90°,OP=OM
過點P(m,-1)作PQ⊥x軸于Q,過點M作MN⊥y軸于N,
∵∠POQ+∠MOQ=90°
∠MON+∠MOQ=90°
∴∠MON=∠POQ
∴∠ONM=∠OQP=90°
∴△MON≌△OPQ
∴MN=PQ=1,ON=OQ=m
∴M(1,m)
∵m=1
∴M(1,1)
∵點M是拋物線y=a(x-1)2+1
∵拋物線經(jīng)過點(2,2)
∴a=1
∴y=(x-1)2+1
∴此拋物線開口向上,對稱軸為x=1
∴當(dāng)x=0時,y=2,
當(dāng)x=1時,y=1
∴y的取值范圍為1≤y≤2.

(2)∵點M(1,m)是拋物線y=ax2+bx+c的頂點
∴可設(shè)拋物線為y=a(x-1)2+m
∵y=a(x-1)2+m=ax2-2ax+a+m
∴B(0,a+m)
又∵A(1,0)
∴直線AB的解析式為y=-(a+m)x+(a+m)
解方程組
得ax2+(m-a)x=0
∵直線AB與拋物線y=ax2+bx+c有且只有一個交點,
∴△=(m-a)2=0
∴m=a
∴B(0,2m).
在Rt△ONM中,由勾股定理得
OM2=MN2+ON2=1+m2
∴BM=OM
∴△BOM是等腰三角形.
點評:此題考查了圖形的旋轉(zhuǎn)變換、全等三角形的判定和性質(zhì)、函數(shù)圖象交點坐標(biāo)的求法以及等腰三角形的判定等知識.
練習(xí)冊系列答案
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C.80
D.70

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