Question

小聰同學為了探究“直角三角形斜邊上的中線與斜邊的數(shù)量關系”，他先畫出了如圖（1）和圖（2）所示的兩個特殊的直角三角形，其中∠BAC均為直角，AD均為斜邊BC上的中線，圖（1）中∠B=30°，圖（2）中∠B=
45°．
（1）請猜想AD與BC之間的數(shù)量關系，并在圖（1）和圖（2）中選擇一個加以證明．
（2）如圖（3），在任意的Rt△ABC中，AD、BC之間的數(shù)量關系是否仍成立？請證明．

Answer 1

分析：（1）如圖1，由條件可以得出BC=2AC，就有CD=AC，由∠C═60°，就可以得出△ADC是等邊三角形，就有AD=CD=

1

2

BC而得出結論；
（2）作EB⊥AB于B，延長AD交BE于點E，可以得出△BDE≌△CDA，就可以得出BE=CA，AD=CD，進而可以得出△ABE≌△BAC就可以得出AE=BC，就可以得出結論．

解答：（1）猜想：AD=

1

2

BC（或2AD=BC）．
理由：如圖1，∵∠BAC=90°，∠B=30°，
∴BC=2AC．∠C=60°．
∵AD均為斜邊BC上的中線，
∴BD=CD=

1

2

BC=AC．
∴△ADC為等邊三角形，
∴AD=CD=

1

2

BC；

（2）答：AD=

1

2

BC仍成立
證明：作EB⊥AB于B，延長AD交BE于點E，
∴∠ABE=90°．
∵∠BAC均為直角，
∴∠BAC=90°，
∴∠ABE+∠BAC=180°，
∴BE∥AC，
∴∠E=∠CAD，∠EBD=∠C．
在△EDB和△ADC中

∠E=∠CAD ∠EBD=∠C BD=CD

，
∴△EDB≌△ADC（AAS），
∴BE=CA，AD=CD=

1

2

AE．
在△ABE和△BAC中

BE=AC ∠ABE=∠BAC BA=AB

，
∴△ABE≌△BAC（SAS），
∴AE=BC，
∴AD=

1

2

BC．

點評：本題考查了直角三角形的性質(zhì)的運用，平行線的性質(zhì)的運用，全等三角形的判定及性質(zhì)的運用，直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)的判定的運用，解答時證明三角形全等是關鍵．