Question

【題目】閱讀下面材料：

小明遇到這樣一個問題：如圖1，在△ABC中，DE∥BC分別交AB于D，交AC于E．已知CD⊥BE，CD=3，BE=4，求BC+DE的值．

小明發(fā)現(xiàn)，過點E作EF∥DC，交BC延長線于點F，構造△BEF，經(jīng)過推理和計算能夠使問題得到解決（如圖2）．

（1）請按照上述思路完成小明遇到的這個問題

（2）參考小明思考問題的方法，解決問題：

如圖3，已知ABCD和矩形ABEF，AC與DF交于點G，AC=BF=DF，求∠DGC的度數(shù)．

Answer 1

【答案】（1）BC+DE=5；（2）∠DGC=60°．

【解析】分析：（1）由DE∥BC，EF∥DC，可證得四邊形DCFE是平行四邊形，即可得EF=CD=3，CF=DE，即可得BC+DE=BF，然后利用勾股定理，求得BC+DE的值；

（2）首先連接AE，CE，由四邊形ABCD是平行四邊形，四邊形ABEF是矩形，易證得四邊形DCEF是平行四邊形，繼而證得△ACE是等邊三角形，則可求得答案．

詳解：（1）∵DE∥BC，EF∥DC，

∴四邊形DCFE是平行四邊形，

∴EF=CD=3，CF=DE．

∵CD⊥BE，∴EF⊥BE，

∴BC+DE=BC+CF=BF==5．

（2）解決問題：

連接AE，CE，如圖3．

∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥DC．

∵四邊形ABEF是矩形，∴AB∥FE，BF=AE，∴DC∥FE，∴四邊形DCEF是平行四邊形，∴CE∥DF．

∵AC=BF=DF，∴AC=AE=CE，∴△ACE是等邊三角形，∴∠ACE=60°．

∵CE∥DF，∴∠DGC=∠ACE=60°．