Question

如圖，在△ABC中，AB=AC=12，BC=6，點(diǎn)D在邊AB上，點(diǎn)E在線(xiàn)段CD上，且∠BEC=∠ACB，BE的延長(zhǎng)線(xiàn)與邊AC相交于點(diǎn)F．
（1）求證：BE•CD=BD•BC；
（2）設(shè)AD=x，AF=y，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫(xiě)出定義域；
（3）如果AD=3，求線(xiàn)段BF的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】分析：（1）由AB=AC，得∠ABC=∠ACB，而∠BEC=∠ACB，可得∠BEC=∠ABC，再加上公共角可得△CBE∽△CDB，寫(xiě)出相似比即可．
（2）由△CBE∽△CDB，得∠CBE=∠CDB，得到△FCB∽△CBD，有，而B(niǎo)D=AB-AD=12-x，得到．而
AF=AC-CF，即可得到．
（3）過(guò)點(diǎn)A、F分別作AG⊥BC、FH⊥BC，垂足分別為G、H，則，而AD=3，CF=，CG=．可計(jì)算出CH=1，在Rt△CFH中利用勾股定理計(jì)算出FH，再在Rt△BFH利用勾股定理即可計(jì)算出BF．
解答：（1）證明：∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∵∠BEC=∠ACB，
∴∠BEC=∠ABC．
又∵∠BCE=∠DCB，
∴△CBE∽△CDB．
∴．
即BE•CD=BD•BC．

（2）解：∵△CBE∽△CDB，
∴∠CBE=∠CDB．
又∵∠FCB=∠CBD．
∴△FCB∽△CBD．
∴，
∵BD=AB-AD=12-x，
∴，
∴．
∵AF=AC-CF，
∴，
∴y關(guān)于x的函數(shù)解析式是，定義域?yàn)?＜x≤9．

（3）解：過(guò)點(diǎn)A、F分別作AG⊥BC、FH⊥BC，垂足分別為G、H，如圖
∴，
∵AD=3，CF=，CG=．
∴，
∴CH=1．
∴FH²=CF²-CH²=16-1=15．
∵BH=BC-CH=6-1=5，
∴BF=．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了三角形相似的判定與性質(zhì)：若兩個(gè)三角形有兩組角對(duì)應(yīng)相等，則這兩個(gè)三角形相似；相似三角形的對(duì)應(yīng)邊的比相等．也考查了勾股定理以及三角函數(shù)的定義．