(2013•大安市模擬)已知:如圖1,拋物線y=-x2+bx+c的頂點為Q,與x軸交于A(-1,0)、B(5,0)兩點,與y軸交于C點.
(1)求拋物線的解析式及其頂點Q的坐標;
(2)在該拋物線的對稱軸上求一點P,使得△PAC的周長最。堅趫D中畫出點P的位置,并求點P的坐標;
(3)如圖2,若點D是第一象限拋物線上的一個動點,過D作DE⊥x軸,垂足為E.
①有一個同學說:“在第一象限拋物線上的所有點中,拋物線的頂點Q與x軸相距最遠,所以當點D運動至點Q時,折線D-E-O的長度最長”.這個同學的說法正確嗎?請說明理由.
②若DE與直線BC交于點F.試探究:四邊形DCEB能否為平行四邊形?若能,請直接寫出點D的坐標;若不能,請簡要說明理由;
分析:(1)將A(-1,0)、B(5,0)分別代入y=-x2+bx+c中即可確定b、c的值,然后配方后即可確定其頂點坐標;
(2)連接BC,交對稱軸于點P,連接AP、AC.求得C點的坐標后然后確定直線BC的解析式,最后求得其與x=1與直線BC的交點坐標即為點P的坐標;
(3)①設D(t,-t2+4t+5),設折線D-E-O的長度為L,求得L的最大值后與當點D與Q重合時L=9+2=11<
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4
相比較即可得到答案;
②假設四邊形DCEB為平行四邊形,則可得到EF=DF,CF=BF.然后根據(jù)DE∥y軸求得DF,得到DF>EF,這與EF=DF相矛盾,從而否定是平行四邊形.
解答:解:(1)將A(-1,0)、B(5,0)分別代入y=-x2+bx+c中,
0=-1-b+c
0=-25+5b+c
,得
b=4
c=5
∴y=-x2+4x+5.
∵y=-x2+4x+5=-(x-2)2+9,∴Q(2,9).
(2)如圖1,連接BC,交對稱軸于點P,連接AP、AC.
∵AC長為定值,∴要使△PAC的周長最小,只需PA+PC最。
∵點A關于對稱軸x=1的對稱點是點B(5,0),拋物線y=-x2+4x+5與y軸交點C的坐標為(0,5).
∴由幾何知識可知,PA+PC=PB+PC為最。
設直線BC的解析式為y=kx+5,將B(5,0)代入5k+5=0,得k=-1,
∴y=-x+5,∴當x=2時,y=3,∴點P的坐標為(2,3).
(3)①這個同學的說法不正確.
∵設D(t,-t2+4t+5),設折線D-E-O的長度為L,則L=-t2+4t+5+t=-t2+5t+5=-(t-
5
2
)2+
45
4
,
∵a<0,∴當t=
5
2
時,L最大值=
45
4

而當點D與Q重合時,L=9+2=11<
45
4
,
∴該該同學的說法不正確.
②四邊形DCEB不能為平行四邊形.
如圖2,若四邊形DCEB為平行四邊形,則EF=DF,CF=BF.
∵DE∥y軸,∴
OE
EB
=
CF
BF
=1
,即OE=BE=2.5.
當xF=2.5時,yF=-2.5+5=2.5,即EF=2.5;
當xD=2.5時,yD=-(2.5-2)2+9=8.75,即DE=8.75.
∴DF=DE-EF=8.75-2.5=6.25>2.5.即DF>EF,這與EF=DF相矛盾,
∴四邊形DCEB不能為平行四邊形.
點評:本題考查了二次函數(shù)的綜合知識,其中涉及到的知識點有拋物線的頂點的確定方法及有關的幾何知識.在求有關動點問題時要注意分析題意分情況討論結果.
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