Question

如圖所示，在直角梯形ABCD中，AB為垂直于底邊的腰，AD=1，BC=2，AB=3，點E為CD上異于C，D的一個動點，過點E作AB的垂線，垂足為F，△ADE，△AEB，△BCE的面積分別為S₁，S₂，S₃．
（1）設AF=x，試用x表示S₁與S₃的乘積S₁S₃，并求S₁S₃的最大值；
（2）設=t，試用t表示EF的長；
（3）在（2）的條件下，當t為何值時，=4S₁S₃．

Answer 1

【答案】分析：（1）直接根據三角形的面積公式解答即可；
（2）作DM⊥BC，垂足為M，DM與EF交與點N，根據=t，可知AF=tFB，再由BM=MC=AD=1可得出====，所以NE=，根據EF=FN+NE即可得出結論；
（3）根據AB=AF+FB=（t+1）FB=3，可得出FB=，故可得出AF=tFB=，根據三角形的面積公式可用t表示出S₁，S₃，S₂，由s₂²=4S₁S₃．即可得出t的值．
解答：解：（1）∵S₁=AD•AF=x，
S₃=BC•BF=×2×（3-x）=3-x，
∴S₁S₃=x（3-x）
=（-x²+3x）
=[-（x-）²+]
=-（x-）²+（0＜x＜3），
∴當x=時，S₁S₃的最大值為；

（2）作DM⊥BC，垂足為M，DM與EF交與點N，
∵=t，
∴AF=tFB，
∵BM=MC=AD=1，
∴====，
∴NE=，
∴EF=FN+NE=1+=；

（3）∵AB=AF+FB=（t+1）FB=3，
∴FB=，
∴AF=tFB=，
∴S₁=AD•AF=×=，
S₃=BC•FB=×2×=；
S₂=AB•FE=×3×=，
∴S₁S₃=，S₂²=，
∴=4×，即4t²-4t+1=0，解得t=．
點評：本題考查的是相似形綜合題，熟知三角形的面積公式、二次函數的最值問題等相關知識是解答此題的關鍵．