Question

如圖1，已知點D在AC上，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，點M為EC的中點．

(1)求證：△BMD為等腰直角三角形．

(2)將△ADE繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)45°，如圖2，(1)中的“△BMD為等腰直角三角形”是否仍然成立？請說明理由．

(3)將△ADE繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)135°，如圖3，(1)中的“△BMD為等腰直角三角形”成立嗎？(不用說明理由)．

(4)我們是否可以猜想，將△ADE繞點A任意旋轉(zhuǎn)一定的角度，如圖4，(1)中的“△BMD為等腰直角三角形”均成立？(不用說明理由)．

Answer 1

答案：
解析：

(1)證明： 　　∵點M是Rt△BEC的斜邊EC的中點， 　　∴BM＝EC＝MC， 　　∴∠MBC＝∠MCB． 　　∴∠BME＝2∠BCM． 　　同理可證：DM＝EC＝MC， 　　∠EMD＝2∠MCD．　　1分 　　∴∠BMD＝2∠BCA＝90°， 　　∴BM＝DM． 　　∴△BMD是等腰直角三角形．　　2分 　　(2)(1)中的結(jié)論仍然成立．　　3分 　　延長DM與BC交于點N 　　∵DE⊥AB 　　CB⊥AB， 　　∴∠EDB＝∠CBD＝90° 　　∴DE∥BC． 　　∴∠DEM＝∠MCN． 　　又∵∠EMD＝∠NMC， 　　EM＝MC 　　∴△EDM≌△MNC．　　4分 　　∴DM＝MN． 　　DE＝NC＝AD． 　　又AB＝BC， 　　∴AB－AD＝BC－CN 　　∴BD＝BN． 　　∴BM⊥DM． 　　即∠BMD＝90°． 　　∵∠ABC＝90°， 　　∴BM＝DN＝DM． 　　∴△BMD是等腰直角三角形．　　5分 　　(3)(1)中的結(jié)論成立．　　6分 　　(4)(1)中的結(jié)論成立．　　7分