【答案】
分析:(1)根據(jù)二次函數(shù)圖象“左加右減,上加下減”的平移規(guī)律即可得到l
2的解析式和對稱軸;
(2)連接BC,交對稱軸于點P,連接AP、AC.點A關(guān)于對稱軸x=1的對稱點是點B(3,0),由幾何知識可知,PA+PC=PB+PC為最小,依此求點P的坐標(biāo);
(3)①反證法推出矛盾的結(jié)論,得出四邊形DCEB不能為平行四邊形;
②分情況1:若CD∥BE;情況2:若CE∥BD兩種情況討論求得四邊形CEBCD為梯形時符合條件的D點坐標(biāo).
解答:解:(1)l
2:y=-(x-1)
2+4,對稱軸為直線x=1;(3分)
(2)如圖1,連接BC,交對稱軸于點P,連接AP、AC.(4分)
∵AC長為定值,
∴要使△PAC的周長最小,只需PA+PC最小.
∵點A關(guān)于對稱軸x=1的對稱點是點B(3,0),拋物線y=-x
2+2x+3與y軸交點C的坐標(biāo)為(0,3).
∴由幾何知識可知,PA+PC=PB+PC為最。5分)
設(shè)直線BC的解析式為y=kx+3,將B(3,0)代入3k+3=0,得k=-1.
∴y=-x+3(6分)
∴當(dāng)x=1時,y=2.
∴點P的坐標(biāo)為(1,2).(7分)
(3)①四邊形DCEB不能為平行四邊形.(8分)
若四邊形DCEB為平行四邊形,則EF=DF,CF=BF.
∵DE⊥x軸,
∴DE∥y軸.
∴
,
即OE=BE=1.5
當(dāng)x
F=1.5時,y
F=-1.5+3=1.5,
即EF=1.5.
當(dāng)x
D=1.5時,y
D=-(1.5-1)
2+4=3.75,即DE=3.75.
∴DF=DE-EF=3.75-1.5=2.25>1.5.
即DF>EF,這與EF=DF相矛盾.
∴四邊形DCEB不能為平行四邊形.(10分)
②四邊形DCEB能為梯形.
情況1:若CD∥BE,則y
C=y
D=3.
當(dāng)y
D=3時,解得x
D=2,易得OE=2,BE=1.
∴CD≠BE.(11分)
∴當(dāng)CD∥BE時,四邊形DCEB為梯形.
∴當(dāng)D的坐標(biāo)為(2,3)時,四邊形DCEB為梯形.(12分)
情況2:若CE∥BD,由①易得CD與BE不平行.即當(dāng)CE∥BD時,四邊形DCEB為梯形.
依題意得:OE=t,BE=3-t,DE=-t
2+2t+3.
∵DE∥y軸,D點的橫坐標(biāo)為t,
∴F點的橫坐標(biāo)為t.
∵CE∥BD,
∴∠CEO=∠DBE.
∴tan∠CEO=tan∠DBE,
∴
,即
,
整理得:t
2+t=3.(13分)
解得:
,
(不合題意,舍去).
當(dāng)
時,
解得y
D=
.
∴當(dāng)D的坐標(biāo)為(
,
)時,四邊形DCEB為梯形.(14分)
綜上,當(dāng)D的坐標(biāo)為(2,3)或(
,
)時,四邊形DCEB為梯形.
注:此題有多種解法,其他解法(或?qū)懛ǎ┛蓞⒄找陨系脑u分標(biāo)準(zhǔn)給分.
點評:此題主要考查了二次函數(shù)圖象的平移、軸對稱的性質(zhì)、平行四邊形及梯形的判定、圖形周長的求法等等知識的綜合應(yīng)用能力.