Question

【題目】如圖1，對角線互相垂直的四邊形叫做垂美四邊形．

(1)概念理解：如圖2，在四邊形中，，，問四邊形是垂美四邊形嗎？請說明理由；

(2)性質探究：如圖1，四邊形的對角線、交于點，．試證明：；

(3)解決問題：如圖3，分別以的直角邊和斜邊為邊向外作正方形和正方形，連結、、．已知，，求的長．

Answer 1

【答案】(1) 四邊形是垂美四邊形，理由見解析；(2)證明見解析；(3) .

【解析】

（1）根據垂直平分線的判定定理，可證直線是線段的垂直平分線，結合“垂美四邊形”的定義證明即可；

（2）根據垂直的定義和勾股定理解答即可；

（3）連接、，先證明，得到∴，可證，即，從而四邊形是垂美四邊形，根據垂美四邊形的性質、勾股定理、結合（2）的結論計算即可．

(1)四邊形是垂美四邊形．

證明：連接AC，BD，

∵，

∴點在線段的垂直平分線上，

∵，

∴點在線段的垂直平分線上，

∴直線是線段的垂直平分線，

∴，即四邊形是垂美四邊形；

(2)猜想結論：垂美四邊形的兩組對邊的平方和相等．

如圖2，已知四邊形中，，垂足為，

求證：

證明：∵，

∴，

由勾股定理得，，

，

∴；

故答案為：．

(3)連接、，

∵，

∴，即，

在和中，，

∴，

∴，又，

∴，即，

∴四邊形是垂美四邊形，

由(2)得，，

∵，，

∴，，，

∴，

∴．