Question

已知正方形ABCD的對角線AC與BD交于點O，點E、F分別是OB、OC上的動點，

(1)如果動點E、F滿足BE＝CF(如圖)：

①寫出所有以點E或F為頂點的全等三角形(不得添加輔助線)；

②證明：AE⊥BF；

(2)如果動點E、F滿足BE＝OF(如圖)，問當AE⊥BF時，點E在什么位置，并證明你的結論．

Answer 1

答案：
解析：

分析：(1)①根據正方形性質及BE＝CF即可得出全等的三角形，②根據全等三角形及正方形的性質即可得出結論， 　　(2)根據正方形性質及已知條件得出△BEM∽△AEO，△BEM∽△BOF，再根據三角形相似的性質即可得出答案． 　　解答：(1)解：①△ABE≌△BCF，△AOE≌△BOF， 　�、谧C明：根據正方形的性質， 　　∵， 　　∴∠BAE＝∠CBF， 　　根據外角性質，∠AFB＝∠BCF＋∠CBF＝45°＋∠CBF， 　　又∵∠FAM＝45°－∠BAE， 　　∴∠AMF＝180°－(∠FAM＋∠AFM)＝180°－(45°＋∠CBF＋45°－∠BAE)＝90°， 　　∴AE⊥BF； 　　(2)AE⊥BF于點M，如圖所示： 　　∵∠BME＝∠AOE，∠BEM＝∠AEO， 　　∴△BEM∽△AEO， 　　∴＝＝， 　　即AO＝＝， 　　∵∠MBE＝∠OBF，∠BME＝∠BOF， 　　∴△BEM∽△BOF， 　　∴＝＝， 　　即BO＝＝， 　　∵AO＝BO，BE＝OF， 　　∴BE＝EO， 　　∴當AE⊥BF時，點E在BO中點． 　　點評：本題主要考查了全等三角形的性質、正方形的性質，相似三角形的判定及性質，比較綜合，難度較大．

提示：

正方形的性質；全等三角形的判定與性質．