Question

已知正方形ABCD的對(duì)角線AC與BD交于點(diǎn)O，點(diǎn)E、F分別是OB、OC上的動(dòng)點(diǎn)，

(1)如果動(dòng)點(diǎn)E、F滿足BE＝CF(如圖)：

①寫出所有以點(diǎn)E或F為頂點(diǎn)的全等三角形(不得添加輔助線)；

②證明：AE⊥BF；

(2)如果動(dòng)點(diǎn)E、F滿足BE＝OF(如圖)，問當(dāng)AE⊥BF時(shí)，點(diǎn)E在什么位置，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

答案：
解析：

分析：(1)①根據(jù)正方形性質(zhì)及BE＝CF即可得出全等的三角形，②根據(jù)全等三角形及正方形的性質(zhì)即可得出結(jié)論， 　　(2)根據(jù)正方形性質(zhì)及已知條件得出△BEM∽△AEO，△BEM∽△BOF，再根據(jù)三角形相似的性質(zhì)即可得出答案． 　　解答：(1)解：①△ABE≌△BCF，△AOE≌△BOF， 　�、谧C明：根據(jù)正方形的性質(zhì)， 　　∵， 　　∴∠BAE＝∠CBF， 　　根據(jù)外角性質(zhì)，∠AFB＝∠BCF＋∠CBF＝45°＋∠CBF， 　　又∵∠FAM＝45°－∠BAE， 　　∴∠AMF＝180°－(∠FAM＋∠AFM)＝180°－(45°＋∠CBF＋45°－∠BAE)＝90°， 　　∴AE⊥BF； 　　(2)AE⊥BF于點(diǎn)M，如圖所示： 　　∵∠BME＝∠AOE，∠BEM＝∠AEO， 　　∴△BEM∽△AEO， 　　∴＝＝， 　　即AO＝＝， 　　∵∠MBE＝∠OBF，∠BME＝∠BOF， 　　∴△BEM∽△BOF， 　　∴＝＝， 　　即BO＝＝， 　　∵AO＝BO，BE＝OF， 　　∴BE＝EO， 　　∴當(dāng)AE⊥BF時(shí)，點(diǎn)E在BO中點(diǎn)． 　　點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)、正方形的性質(zhì)，相似三角形的判定及性質(zhì)，比較綜合，難度較大．

提示：

正方形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)．