Question

【題目】已知：如圖，⊙O與⊙P相交于A、B兩點，點P在⊙O上，⊙O的弦AC切⊙P于點A，CP及其延長線交⊙P于D、E，經(jīng)過E作EF⊥CE交CB的延長線于F．

⑴求證：BC是⊙P的切線；

⑵若CD=2，CB=，求EF的長；

⑶若設(shè)k=PE：CE，是否存在實數(shù)k，使△PBD恰好是等邊三角形?若存在，求出k的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）；（3）存在，

【解析】

（1）要證明BC是⊙P的切線，則連接BP，需要證明BP⊥BC．根據(jù)已知條件，連接AP．根據(jù)切線的性質(zhì)得到∠PAC=90°，再根據(jù)圓周角定理的推論得到CP是直徑，從而得到∠CBP=90°，證明結(jié)論；
（2）首先證得△BCD∽△ECB，求得CE的長，再根據(jù)Rt△EFC∽Rt△BPC求得EF的長；
（3）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)和含30度角的直角三角形的性質(zhì)進(jìn)行求解．

（1）連接PA、PB，

∵AC切⊙P于A，PA是⊙P的半徑，
∴AC⊥PA．
即：∠PAC=90°，

∴CP是⊙O的直徑，

∴∠PBC=90°，
即PB⊥CB，
又∵PB是⊙P的半徑，
∴BC是⊙P的切線；

（2）連接BD、BE、PB，

∵BC是⊙P的切線，

∴∠CBD=∠CEB，

又∠BCD=∠ECB，

∴△BCD∽△ECB，

∴，

∵CD=2，CB=，

∴CE=，

DE=CE-CD=4-2=2．

∴PB=DE =1，

在Rt△EFC和Rt△BPC中，∠ECF=∠BCP，∠FEC=∠PBC=90°，

∴Rt△EFC∽Rt△BPC，

∴，

∴；

（3）存在實數(shù)時，△PBD為等邊三角形．

理由如下：

∵△PBD為等邊三角形，

∴∠CPB=60°．
∵CB是⊙P的切線，
∴CB⊥BP，
∴∠BCP=30°，△PBC為直角三角形，
∴PB=PC，PB=PE，
∴PC=2PE，CE=PC+PE，
∴CE=3PE，
∴PE：CE=1：3，

即：時，△PBD為等邊三角形．

【點晴】

本題考查了切線的判定和切線的性質(zhì)以及相似三角形的判定和相似三角形的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，含30度角的直角三角形的性質(zhì)．