Question

4．認(rèn)真閱讀下面關(guān)于三角形內(nèi)外角平分線所夾的探究片段，完成所提出的問(wèn)題．
探究1：如圖1，在△ABC中，O是∠ABC與∠ACB的平分線BO和CO的交點(diǎn)，通過(guò)分析發(fā)現(xiàn)∠BOC=90°+$\frac{1}{2}$∠A，理由如下：
∵BO和CO分別是∠ABC和∠ACB的角平分線，
∴∠1=$\frac{1}{2}$∠ABC，∠2=$\frac{1}{2}$∠ACB，
∴∠1+∠2=$\frac{1}{2}$（∠ABC+∠ACB）=$\frac{1}{2}$（∠ABC+∠ACB）=$\frac{1}{2}$（180°-∠A）=90°-$\frac{1}{2}$∠A，
∴∠BOC=180°-（∠1+∠2）=180°-（90°-$\frac{1}{2}$∠A）=90°+$\frac{1}{2}$∠A．
（1）探究2：如圖2中，O是∠ABC與外角∠ACD的平分線BO和CO的交點(diǎn)，試分析∠BOC與∠A
有怎樣的關(guān)系？請(qǐng)說(shuō)明理由．
（2）探究3：如圖3中，O是外角∠DBC與外角∠ECB的平分線BO和CO的交點(diǎn)，則∠BOC與∠A
有怎樣的關(guān)系？（直接寫出結(jié)論）
（3）拓展：如圖4，在四邊形ABCD中，O是∠ABC與∠DCB的平分線BO和CO的交點(diǎn)，則∠BOC與∠A+∠D有怎樣的關(guān)系？（直接寫出結(jié)論）

Answer 1

分析 （1）根據(jù)角的平分線的定義以及三角形的外角的性質(zhì)即可求解；
（2）根據(jù)三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和表示出∠DBC和∠BCE，再根據(jù)角平分線的定義求出∠OBC+∠OCB，然后根據(jù)三角形內(nèi)角和定理列式整理即可得解；
（3）根據(jù)四邊形內(nèi)角和等于360°求出∠ABC+∠BCD，再根據(jù)角平分線的定義求出∠OBC+∠OCB，然后利用三角形內(nèi)角和定理列式整理即可得解．

解答 解：（1）探究2結(jié)論：∠BOC=$\frac{1}{2}$∠A．
理由如下：∵BO和CO分別是∠ABC和∠ACD的角平分線，
∴∠OBC=$\frac{1}{2}$∠ABC，∠OCD=$\frac{1}{2}$∠ACD，
又∵∠ACD是△ABC的一個(gè)外角，
∴∠ACD=∠A+∠ABC，
∴∠OCD=$\frac{1}{2}$（∠A+∠ABC）=$\frac{1}{2}$∠A+$\frac{1}{2}$∠ABC=$\frac{1}{2}$∠A+∠OBC，
又∵∠OCD是△BOC的一個(gè)外角，
∴∠BOC=∠OCD-∠OBC=$\frac{1}{2}$∠A+∠OBC-∠OBC=$\frac{1}{2}$∠A；
（2）探究3：結(jié)論∠BOC=90°-$\frac{1}{2}$∠A．
理由是：∵BO平分∠BDC，CO平分∠ECB，
∴∠BOC=$\frac{1}{2}$∠DBC，∠OCB=$\frac{1}{2}$∠ECB，
又∵∠DBC=∠A+∠ACB，∠ECB=∠A+∠ABC，
∴∠BOC+∠OCB=$\frac{1}{2}$（∠A+∠ABC+∠ACB+∠A）=$\frac{1}{2}$（180°+∠A），
又∵∠BOC=180°-（∠BOC+∠OCB）=180°-$\frac{1}{2}$（180°+∠A）=90°-$\frac{1}{2}$∠A；
（3）拓展：結(jié)論∠BOC=$\frac{1}{2}$（∠A+∠D）．
理由是：∵BO平分∠ABC，CO平分∠DCB，
∴∠OBC=$\frac{1}{2}$∠ABC，∠OCB=$\frac{1}{2}$∠DCB，
∴∠OBC+∠OCB=$\frac{1}{2}$（∠ABC+∠DCB），
又∵∠ABC+∠DCB+∠A+∠D=360°，即∠ABC+∠DCB=360°-∠A-∠D，
∴∠OBC+∠OCB=$\frac{1}{2}$（360°-∠A+∠D），
∴∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB）=$\frac{1}{2}$（∠A+∠D）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，角平分線的定義，整體思想的利用是解題的關(guān)鍵．