Question

（2009•寶山區(qū)一模）如圖，已知梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AB=4，AD=CD=5，．點(diǎn)P在邊BC上運(yùn)動(dòng)（點(diǎn)P不與點(diǎn)B、點(diǎn)C重合），一束光線(xiàn)從點(diǎn)A出發(fā)，沿AP的方向射出，經(jīng)BC反射后，反射光線(xiàn)PE交射線(xiàn)CD于點(diǎn)E．

（1）當(dāng)PE=CE時(shí)，求BP的長(zhǎng)度；
（2）當(dāng)點(diǎn)E落在線(xiàn)段CD上時(shí)，設(shè)BP=x，DE=y，試求y與x之間的函數(shù)關(guān)系，并寫(xiě)出其定義域；
（3）連接PD，若以點(diǎn)A、P、D為頂點(diǎn)的三角形與△PCE相似，試求BP的長(zhǎng)度．

Answer 1

【答案】分析：（1）先根據(jù)已知證明∠APB=∠C，再根據(jù)三角函數(shù)的知識(shí)得出PE=CE時(shí)，BP的長(zhǎng)度；
（2）延長(zhǎng)PE與AD的延長(zhǎng)線(xiàn)交于點(diǎn)F，根據(jù)平行線(xiàn)的性質(zhì)即可得出與x之間的函數(shù)關(guān)系；
（3）若△APD與△PCE相似，則有兩種情況：（ⅰ）∠ADP=∠C時(shí)，△APD∽△PEC，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得出BP的長(zhǎng)度；（ⅱ）∠APD=∠C時(shí)，△APD∽△DCP，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得出BP的長(zhǎng)度．
解答：解：（1）根據(jù)已知，得BC=8，∠APB=∠EPC（1分）
∵PE=CE∴∠EPC=∠C
∴∠APB=∠C
（方法一）∵cot∠C=∴（1分）
∵AB=4∴BP=3（1分）
即BP=3時(shí)，PE=CE
（方法二）∴AP∥DC
∴PC=AD=5（1分）
∴BP=3（1分）
即BP=3時(shí)，PE=CE

（2）延長(zhǎng)PE與AD的延長(zhǎng)線(xiàn)交于點(diǎn)F，
∵BP=x，
∴PC=8-x，AF=2x（1分）
∵DE=y，DC=AD=5，
∴EC=5-y，DF=2x-5
∵AF∥BC
∴（1分）
即（1分）
∴（1分）
∵點(diǎn)E在線(xiàn)段CD上
∴函數(shù)定義域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/czsx/web/STSource/201310201211236677501922/SYS201310201211236677501025_DA/5.png">＜8（1分）

（3）∵AD∥BC∴∠DAP=∠APB，
∵∠APB=∠EPC∴∠DAP=∠EPC（1分）
若△APD與△PCE相似，則有如下兩種情況：
（�。�∠ADP=∠C時(shí)，
推出BP=2時(shí)，△APD∽△PEC；（2分）
（ⅱ）∠APD=∠C時(shí)
（法一）又∵∠ADP=∠DPC∴△APD∽△DCP
∴PD²=AD•PC
∵PD²=4²+（5-x）²（1分）
∴16+（5-x）²=5（8-x）（1分）
解得，經(jīng)檢驗(yàn)，均符合題意
故時(shí)，△APD∽△PCE；（1分）
∴當(dāng)BP為2，時(shí)，△APD與△PCE相似．
（法二）過(guò)點(diǎn)D作DH⊥AP于點(diǎn)H
∵∠DAP=∠APB∴
∵
∴
∴（1分）
∵cot∠C=∴（1分）
解得x=，或x=（舍去），
故x=時(shí)，△APD∽△PCE；（1分）
∴當(dāng)BP為2，時(shí)，△APD與△PCE相似．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了梯形的性質(zhì)，平行線(xiàn)的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)以及函數(shù)知識(shí)的綜合應(yīng)用，要根據(jù)對(duì)應(yīng)角的不同進(jìn)行分類(lèi)求解．