Question

有18支足球隊(duì)進(jìn)行單循環(huán)賽，每個參賽隊(duì)同其他各隊(duì)進(jìn)行一場比賽，假設(shè)比賽的結(jié)果沒有平局，如果用a_i和b_i，分別表示第i（I=1，2，3…18）支球隊(duì)在整個賽程中勝與負(fù)的局?jǐn)?shù)．求證：a₁²+a₂²+…+a₁₈²=b₁²+b₂²+…+b₁₈²．

Answer 1

由于每支球隊(duì)都要進(jìn)行18-1=17場比賽，則對于第i支球隊(duì)有a_i+b_i=17，i=1，2，3，…18；由于比賽無平局，故所以參賽隊(duì)的勝與負(fù)的總局?jǐn)?shù)相等，即a₁+a₂+…+a₁₈=b₁+b₂+…b_18．
由（a₁²+a₂²+…+a₁₈²）-（b₁²+b₂²+…+b₁₈²）
=（a₁²-b₁²）+（a₂²-b₂²）+…+（a₁₈²-b₁₈²）
=17×[（a1+a2+…+a18）-（b1+b2+…b18）]
=0．
得a₁²+a₂²+…+a₁₈²=b₁²+b₂²+…+b₁₈²．