已知,在平行四邊形OABC中,OA=5,AB=4,∠OCA=90°,動(dòng)點(diǎn)P從O點(diǎn)出發(fā)沿射線OA方向以每秒2個(gè)單位的速度移動(dòng),同時(shí)動(dòng)點(diǎn)Q從A點(diǎn)出發(fā)沿射線AB方向以每秒1個(gè)單位的速度移動(dòng).設(shè)移動(dòng)的時(shí)間為t秒.
(1)求直線AC的解析式;
(2)試求出當(dāng)t為何值時(shí),△OAC與△PAQ相似?
(3)若⊙P的半徑為,⊙Q的半徑為;當(dāng)⊙P與對(duì)角線AC相切時(shí),判斷⊙Q與直線AC、BC的位置關(guān)系,并求出Q點(diǎn)坐標(biāo).
【答案】分析:(1)過C點(diǎn)作x軸的垂線,垂足為D點(diǎn),由已知條件利用勾股定理求AC,利用面積法求CD,利用勾股定理求OD,確定C點(diǎn)坐標(biāo),從而求直線AC的解析式;
(2)根據(jù)P點(diǎn)是否在線段OA上分類:當(dāng)0≤t≤2.5時(shí),和當(dāng)t>2.5時(shí),判斷相似是否成立,利用相似比求符合條件的t的值;
(3)可判斷⊙Q與直線AC、BC均相切.當(dāng)⊙P的半徑為時(shí),利用相似比求PA,得出OP的長(zhǎng)和P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)間,Q點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)間與P點(diǎn)相同,可判斷QA的長(zhǎng)是否等于⊙Q的半徑,并求出Q點(diǎn)坐標(biāo).
解答:解:(1)過C點(diǎn)作x軸的垂線,垂足為D點(diǎn),在平行四邊形OABC中,由OA=5,AB=4,∠OCA=90°,得AC=3,
由面積法,得CD×OA=OC×AC,解得CD==,
在Rt△OCD中,由勾股定理得OD==,
∴C(,),
又∵A(5,0),
∴直線AC解析式為:y=-x+;

(2)當(dāng)0≤t≤2.5時(shí),P在OA上,若∠OAQ=90°時(shí),
故此時(shí)△OAC與△PAQ不可能相似.
當(dāng)t>2.5時(shí),
①若∠APQ=90°,則△APQ∽△OAC,
==,
=,
∴t=,
∵t>2.5,
∴t=符合條件.
②若∠AQP=90°,則△APQ∽△OAC,
==,
=,
∴t=,
∵t>2.5,
∴t=符合條件.
綜上可知,當(dāng)t=時(shí),△OAC與△APQ相似.

(3)⊙Q與直線AC、BC均相切.
如圖,設(shè)⊙P與AC相切于點(diǎn)M,則PM∥OC,
=,即×5=PA×4,
解得PA=2,OP=5-2=3,
P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為3÷2=秒,
故Q點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒,此時(shí)AQ=
BQ=4-=,
過Q點(diǎn)作QN⊥BC,垂足為N,則△BQN∽△BCA,
=,即=,
解得QN=,
則AQ=QN,
∵AC⊥AB,
∴⊙Q與直線AC、BC均相切.
此時(shí),Q點(diǎn)坐標(biāo)為().
點(diǎn)評(píng):本題考查了一次函數(shù)的綜合運(yùn)用.關(guān)鍵是利用勾股定理,面積法,相似三角形的性質(zhì)解題.
練習(xí)冊(cè)系列答案
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知,在平行四邊形OABC中,OA=5,AB=4,∠OCA=90°,動(dòng)點(diǎn)P從O點(diǎn)出發(fā)沿射線OA精英家教網(wǎng)方向以每秒2個(gè)單位的速度移動(dòng),同時(shí)動(dòng)點(diǎn)Q從A點(diǎn)出發(fā)沿射線AB方向以每秒1個(gè)單位的速度移動(dòng).設(shè)移動(dòng)的時(shí)間為t秒.
(1)求直線AC的解析式;  
(2)試求出當(dāng)t為何值時(shí),△OAC與△PAQ相似.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

精英家教網(wǎng)已知:在平行四邊形ABCD中,對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O,M、N、P、Q分別是OA、OB、OC、OD的中點(diǎn).
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已知:在平行四邊形ABCD中,設(shè)
AB
=
a
,
AD
=
b
,那么
CA
=
 
(用向量
a
、
b
的式子表示).

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知,在平行四邊形OABC中,OA=5,AB=4,∠OCA=90°,動(dòng)點(diǎn)P從O點(diǎn)出發(fā)沿射線OA方向精英家教網(wǎng)以每秒2個(gè)單位的速度移動(dòng),同時(shí)動(dòng)點(diǎn)Q從A點(diǎn)出發(fā)沿射線AB方向以每秒1個(gè)單位的速度移動(dòng).設(shè)移動(dòng)的時(shí)間為t秒.
(1)求直線AC的解析式;
(2)試求出當(dāng)t為何值時(shí),△OAC與△PAQ相似?
(3)若⊙P的半徑為
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,⊙Q的半徑為
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;當(dāng)⊙P與對(duì)角線AC相切時(shí),判斷⊙Q與直線AC、BC的位置關(guān)系,并求出Q點(diǎn)坐標(biāo).

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

如圖,已知:在平行四邊形ABCD中,AB=4cm,AD=7cm,∠ABC的平分線交AD于點(diǎn)E,交CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F,求DF的長(zhǎng).

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