解:(1)∵點A(2,4)在拋物線上,
∴把點A坐標代入y=a(x+1)
2-5得a=1,
∴拋物線C
1的解析式為y=x
2+2x-4,
設B(-2,b),
∴b=-4,
∴B(-2,-4);
(2)①如圖
∵M(1,5),D(1,2),且DH⊥x軸,
∴點M在DH上,MH=5,
過點G作GE⊥DH,垂足為E,
由△DHG是正三角形,可得EG=
,
EH=1,
∴ME=4,
設N(x,0),則NH=x-1,
由△MEG∽△MHN,得
,
∴
=
,
∴x=
+1,
∴點N的橫坐標為
+1,
②當點D移到與點A重合時,如備用圖1
直線l與DG交于點G,此時點N的橫坐標最大;
過點G,M作x軸的垂線,垂足分別為點Q,F(xiàn),
設N(x,0),
∵A(2,4),即AH=4,且△AGH為等邊三角形,
∴∠AHG=60°,HG=AH=4,
∴∠GHQ=30°,又∠GQH=90°,
∴GQ=
HG=2,HQ=
=2
,
∴OQ=OH+HQ=2+2
,
∴G(2+2
,2),
∴NQ=x-2-2
,NF=x-1,GQ=2,MF=5,
∵△NGQ∽△NMF,
∴
,
∴
,
∴x=
,
當點D移到與點B重合時,如備用圖2
直線l與DG交于點D,即點B,
此時點N的橫坐標最;
∵B(-2,-4),
∴H(-2,0),
設N(x,0),
∵△BHN∽△MFN,
∴
,
∴
,
∴x=-
,
∴點N橫坐標的范圍為-
≤x≤
且x≠0.
分析:(1)由于拋物線經(jīng)過A、B兩點,將A點坐標代入拋物線中,即可求得待定系數(shù)的值,進而可求出B點的坐標.
(2)①已知點D的坐標,即可求得正△DGH的邊長,過G作GE⊥DH于E,易求得DE、EH、EG的長;根據(jù)(1)題所求得拋物線的解析式,即可求出點M的坐標,也就能得到ME、MH的長,易證△MEG∽△MHN,根據(jù)相似三角形所得比例線段,即可求得N點的橫坐標.
②求點N橫坐標的取值范圍,需考慮N點橫坐標最大、最小兩種情況:
①當點D、A重合,且直線l經(jīng)過點G時,N點的橫坐標最大;解法可參照(2)的思路,過點G作GQ⊥x軸于Q,過點M作MF⊥x軸于F,設出點N的橫坐標,然后分別表示出NQ、NF的長,通過證△NQG∽△NFM,根據(jù)所得比例線段,即可求得此時N點的橫坐標;
②當點D、B重合,直線l過點D時,N點的橫坐標最小,解法同①.
點評:此題是二次函數(shù)的綜合題,主要考查二次函數(shù)解析式的確定、等邊三角形的性質(zhì)以及相似三角形的判定和性質(zhì);在解答(2)題時,關鍵是正確地作圖,構(gòu)造出與所求相關的相似三角形,然后利用相似三角形的性質(zhì)來求解.