Question

【題目】如圖，平面直角坐標(biāo)系中，矩形的頂點(diǎn)的坐標(biāo)為，頂點(diǎn)，分別在軸，軸上，點(diǎn)的坐標(biāo)為，過點(diǎn)的直線與矩形的邊交于點(diǎn)，且點(diǎn)不與點(diǎn)重合．以為一邊作菱形，點(diǎn)在矩形的邊上，設(shè)直線的函數(shù)表達(dá)式為．

（1）當(dāng)時(shí)，求直線的函數(shù)表達(dá)式；

（2）當(dāng)點(diǎn)的坐標(biāo)為時(shí)，求直線的函數(shù)表達(dá)式；

（3）連接，設(shè)的面積為，的長(zhǎng)為，請(qǐng)直接寫出與的函數(shù)表達(dá)式及自變量的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）．

【解析】

（1）利用矩形的性質(zhì)結(jié)合點(diǎn)B的坐標(biāo)可得出點(diǎn)A，C的坐標(biāo)，由點(diǎn)D的坐標(biāo)結(jié)合CG=OD可得出點(diǎn)G的坐標(biāo)，由點(diǎn)D，G的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法即可求出直線DG的函數(shù)表達(dá)式；

（2）利用勾股定理可求出DE的長(zhǎng)，由菱形的性質(zhì)及勾股定理可求出CG的長(zhǎng)，進(jìn)而可得出點(diǎn)G的坐標(biāo)，由點(diǎn)D，G的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法即可求出直線DG的函數(shù)表達(dá)式；

（3）設(shè)DG交x軸于點(diǎn)P，過點(diǎn)F作FM⊥x軸于點(diǎn)M，延長(zhǎng)MF交BC于點(diǎn)N，易證△DCG≌△FME（AAS），利用全等三角形的性質(zhì)可得出FM的長(zhǎng)度，進(jìn)而可得出FN的長(zhǎng)，再利用三角形的面積公式可得出S與a的函數(shù)表達(dá)式，結(jié)合點(diǎn)G不與點(diǎn)C重合及點(diǎn)E在OA上可求出a的取值范圍，此題得解．

解：（1）∵四邊形OABC為矩形，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（7，5），點(diǎn)A，C分別在x軸，y軸上，

∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，5），點(diǎn)A的坐標(biāo)為（7，0）．

∵點(diǎn)D的坐標(biāo)為（0，1），CG=OD，

∴點(diǎn)G的坐標(biāo)為（1，5）．

將D（0，1），G（1，5）代入y=kx+b，得：

，解得，

∴當(dāng)CG=OD時(shí)，直線DG的函數(shù)表達(dá)式為y=4x+1．

（2）在Rt△ODE中，OD=1，OE=5，∠DOE=90°

∴DE=,

∵四邊形DEFG為菱形，

∴DG=DE=．

在Rt△CDG中，DG=，CD=OC-OD=4，∠DCG=90°，

∴CG=

∴點(diǎn)G的坐標(biāo)為（，5）．

將D（0，1），G（，5）代入y=kx+b，得：

，解得：

∴當(dāng)CG=OD時(shí)，直線DG的函數(shù)表達(dá)式為y=

（3）設(shè)DG交x軸于點(diǎn)P，過點(diǎn)F作FM⊥x軸于點(diǎn)M，延長(zhǎng)MF交BC于點(diǎn)N，如圖所示．

∵DG∥EF，

∴∠FEM=∠GPO．

∵BC∥OA，

∴∠DGC=∠GPO=∠FEM．

在△DCG和△FME中，

，

∴△DCG≌△FME（AAS），

∴FM=DC=4．

∵MN⊥x軸，

∴四邊形OMNC為矩形，

∴MN=OC=5，FN=MN-FM=1．

∴S=BGFN=（7-a）．

∵點(diǎn)E在邊OA上，點(diǎn)G在BC邊上，且點(diǎn)G不與點(diǎn)C重合，

∴DE≤，a＞0，

∴DG=，

∴0＜a≤．

∴S與a的函數(shù)表達(dá)式為S=（7-a）（0＜a≤）