Question

如圖，已知△ABC中，∠B=90°，AB=8cm，BC=6cm，P、Q是△ABC邊上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，其中點(diǎn)P從點(diǎn)A開始沿A→B方向運(yùn)動(dòng)，且速度為每秒1cm，點(diǎn)Q從點(diǎn)B開始沿B→C→A方向運(yùn)動(dòng)，且速度為每秒2cm，它們同時(shí)出發(fā)，設(shè)出發(fā)的時(shí)間為t秒．
（1）出發(fā)2秒后，求PQ的長(zhǎng)；
（2）從出發(fā)幾秒鐘后，△PQB能形成等腰三角形？
（3）當(dāng)點(diǎn)Q在邊CA上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求能使△BCQ成為等腰三角形的運(yùn)動(dòng)時(shí)間．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)點(diǎn)P、Q的運(yùn)動(dòng)速度求出AP，再求出BP和BQ，用勾股定理求得PQ即可；
（2）設(shè)出發(fā)t秒鐘后，△PQB能形成等腰三角形，則BP=BQ，由BQ=2t，BP=8-t，列式求得t即可；
（3）當(dāng)點(diǎn)Q在邊CA上運(yùn)動(dòng)時(shí)，能使△BCQ成為等腰三角形的運(yùn)動(dòng)時(shí)間有三種情況：
①當(dāng)CQ=BQ時(shí)（圖1），則∠C=∠CBQ，可證明∠A=∠ABQ，則BQ=AQ，則CQ=AQ，從而求得t；
②當(dāng)CQ=BC時(shí)（如圖2），則BC+CQ=12，易求得t；
③當(dāng)BC=BQ時(shí)（如圖3），過B點(diǎn)作BE⊥AC于點(diǎn)E，則求出BE，CE，即可得出t．

解答：解：（1）BQ=2×2=4cm，
BP=AB-AP=8-2×1=6cm，
∵∠B=90°，
PQ=

BQ2+BP2

=

42+62

=

52

=2

13

；

（2）BQ=2t，
BP=8-t …1′
2t=8-t，
解得：t=

8

3

…2′；

（3）①當(dāng)CQ=BQ時(shí)（圖1），則∠C=∠CBQ，
∵∠ABC=90°，
∴∠CBQ+∠ABQ=90°，
∠A+∠C=90°，
∴∠A=∠ABQ，
∴BQ=AQ，
∴CQ=AQ=5，
∴BC+CQ=11，
∴t=11÷2=5.5秒．…1′
②當(dāng)CQ=BC時(shí)（如圖2），則BC+CQ=12
∴t=12÷2=6秒．…1′
③當(dāng)BC=BQ時(shí)（如圖3），過B點(diǎn)作BE⊥AC于點(diǎn)E，
則BE=

AB•BC

AC

=

6×8

10

=

24

5

，
所以CE=

BC2-BE2

=

62-( 24 5 )2

=

18

5

，
故CQ=2CE=7.2，
所以BC+CQ=13.2，
∴t=13.2÷2=6.6秒．…2′
由上可知，當(dāng)t為5.5秒或6秒或6.6秒時(shí)，
△BCQ為等腰三角形．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了勾股定理、三角形的面積以及等腰三角形的判定和性質(zhì)，注意分類討論思想的應(yīng)用．