Question

21、（1）請你寫出不超過30的自然數中的質數之和．
（2）請回答，千位數是1的四位偶自然數共有多少個？
（3）一個四位偶自然數的千位數字是1，當它分別被四個不同的質數去除時，余數也都是1，試求出滿足這些條件的所有自然數，其中最大的一個是多少？

Answer 1

分析：（1）列舉出所有小于30的質數，再求出這些質數的和即可；
（2）根據千位數是1的四位自然數中奇數與偶數相等即可解答；
（3）設滿足題設性質的自然數為x，則x的千位數字是1，個位數字是偶數碼，又設質數p₁＜p₂＜p₃＜p₄，則依題意有x=kp₁p₂p₃p₄+1①，其中k為自然數，再分別把p₁=2、3、5、7、11、13、17、19、23代入求出x的值，找出符合條件的自然數即可．

解答：解：（1）不超過30的質數和為
2+3+5+7+11+13+17+19+23+29=129；
（2）千位數是1的四位自然數中最小為1000最大為1999．共連續(xù)1000個自然數．其中有500個是偶數．所以千位數是1的四位偶自然數共有500個；
（3）設滿足題設性質的自然數為x，則x的千位數字是1，個位數字是偶數碼．
又設質數p₁＜p₂＜p₃＜p₄，則依題意有x=kp₁p₂p₃p₄+1①，其中k為自然數．
若p₁=2，則kp₁p₂p₃p₄+1為奇數，與x為偶數不符．所以p₁，p₂，p₃，p₄均為奇質數．
設p₁=3，p₂=5，p₃=7，p₄=11，有3×5×7×11=1155，所以k=1．
而p₁=3，p₂=5，p₃=11，p₄=13時3×5×11×13=2145＞1999．
所以p₁=3，p₂=5，p₃=7是①中p₁，p₂，p₃的唯一取值法．這樣一來，只須再對p₄討論：
當p₄=11時，x₁=3×5×7×11+1=1156．
當p₄=13時，x₂=3×5×7×13+1=1366．
當p₄=17時，x₃=3×5×7×17+1=1786．
當p₄=19時，x₄=3×5×7×19+1=1996．
而當p₄=23時，x₅=3×5×7×23+1＞2000不合要求．
所以，滿足題設條件的自然數共四個，它們是1156，1366，1786，1996．
其中最大的一個是1996．

點評：本題考查的是質數與合數、自然數、奇數與偶數的定義，是一道難度較大的題目．