問題探究：
（1）如圖①所示是一個(gè)半徑為，高為4的圓柱體和它的側(cè)面展開圖，AB是圓柱的一條母線，一只螞蟻從A點(diǎn)出發(fā)沿圓柱的側(cè)面爬行一周到達(dá)B點(diǎn)，求螞蟻爬行的最短路程；（探究思路：將圓柱的側(cè)面沿母線AB剪開，它的側(cè)面展開圖如圖①中的矩形ABB′A′，則螞蟻爬行的最短路程即為線段AB′的長）；
（2）如圖②所示是一個(gè)底面半徑為，母線長為4的圓錐和它的側(cè)面展開圖，PA是它的一條母線，一只螞蟻從A點(diǎn)出發(fā)沿圓錐的側(cè)面爬行一周后回到A點(diǎn)，求螞蟻爬行的最短路程；
（3）如圖③所示，在②的條件下，一只螞蟻從A點(diǎn)出發(fā)沿圓錐的側(cè)面爬行一周到達(dá)母線PA上的一點(diǎn)，求螞蟻爬行的最短路程。

解：（1）易知

即螞蟻爬行的最短路程為5；
（2）連結(jié)AA′，則AA′的長為螞蟻爬行的最短路程，設(shè)為圓錐底面半徑，為側(cè)面展開圖（扇形）的半徑，則，由題意得：
即，
∴
∴是等邊三角形，
∴最短路程為；
（3）如圖③所示是圓錐的側(cè)面展開圖，過A作AC⊥PA′于點(diǎn)C，則線段AC的長就是螞蟻爬行的最短路程，
∴
∴螞蟻爬行的最短距離為。
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    科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

    問題探究：
    （1）如圖①所示是一個(gè)半徑為
    3
    2π
    ，高為4的圓柱體和它的側(cè)面展開圖，AB是圓柱的一條母線，一只螞蟻從A點(diǎn)出發(fā)沿圓柱的側(cè)面爬行一周到達(dá)B點(diǎn)，求螞蟻爬行的最短路程．（探究思路：將圓柱的側(cè)面沿母線AB剪開，它的側(cè)面展開圖如圖①中的矩形ABB′A′，則螞蟻爬行的最短路程即為線段AB′的長）；
    （2）如圖②所示是一個(gè)底面半徑為
    2
    3
    ，母線長為4的圓錐和它的側(cè)面展開圖，PA是它的一條母線，一只螞蟻從A點(diǎn)出發(fā)沿圓錐的側(cè)面爬行一周后回到A點(diǎn)，求螞蟻爬行的最短路程；
    （3）如圖③所示，在②的條件下，一只螞蟻從A點(diǎn)出發(fā)沿圓錐的側(cè)面爬行一周到達(dá)母線PA上的一點(diǎn)，求螞蟻爬行的最短路程．
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    科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

    （2012•昌平區(qū)一模）問題探究：
    （1）如圖1，在邊長為3的正方形ABCD內(nèi)（含邊）畫出使∠BPC=90°的一個(gè)點(diǎn)P，保留作圖痕跡；
    （2）如圖2，在邊長為3的正方形ABCD內(nèi)（含邊）畫出使∠BPC=60°的所有的點(diǎn)P，保留作圖痕跡并簡要說明作法；
    （3）如圖3，已知矩形ABCD，AB=3，BC=4，在矩形ABCD內(nèi)（含邊）畫出使∠BPC=60°，且使△BPC的面積最大的所有點(diǎn)P，保留作圖痕跡．

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    科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

    （2011•臨川區(qū)模擬）問題背景：如圖1，四邊形ABCD和CEFG都是正方形，B，C，E在同一條直線上，連接BG，DE．
    問題探究：
    （1）①如圖1所示，當(dāng)G在CD邊上時(shí)，猜想線段BG、DE的數(shù)量關(guān)系及所在直線的位置關(guān)系．（不要求證明）
    ②將圖1中的正方形CEFG繞著點(diǎn)C按順時(shí)針（或逆時(shí)針）方向旋轉(zhuǎn)任意角度α，得到如圖2，如圖3情形．請(qǐng)你通過觀察、測量等方法判斷①中得到的結(jié)論是否仍然成立，請(qǐng)選擇圖2或圖3證明你的判斷．
    類比研究：
    （2）若將原題中的“正方形”改為“矩形”（如圖4所示），且
    AB
    BC
    =
    CE
    CG
    =k（其中k＞0），請(qǐng)直接寫出線段BG、DE的數(shù)量關(guān)系及位置關(guān)系．請(qǐng)選擇圖5或圖6證明你的判斷．
    拓展應(yīng)用：
    （3）在（1）中圖2中，連接DG、BE，若AB=3，EF=2，求BE2+DG2的值．

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    科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

    問題探究：
    （1）如圖1，在⊙O中，AB是直徑，CD⊥AB于點(diǎn)E，AE=a，EB=b．計(jì)算CE的長度（用a、b的代數(shù)式表示）．
    （2）如圖2，請(qǐng)你在邊長分別為a、b（a＞b）的矩形ABCD的邊AD上找一點(diǎn)M，使得線段CM=
    		ab
    （保留作圖痕跡）．
    問題解決：
    （3）請(qǐng)你在（2）中結(jié)論的基礎(chǔ)上，在圖3中對(duì)矩形ABCD進(jìn)行拆分并拼接為一個(gè)與其面積相等的正方形．并探究你所畫出拼成的正方形的面積是否存在最大值和最小值？若存在，求出這個(gè)最大值和最小值；若不存在，請(qǐng)說明理由．

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    科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

    問題情境：
    學(xué)生生物小組有一塊長30m，寬20m的矩形ABCD試驗(yàn)田，為了管理方便，準(zhǔn)備沿平行于兩邊的方向縱、橫各開辟一條等寬的小道如圖1，要使種植面積為504m2．

    問題探究：
    （1）如圖1，小道的寬應(yīng)設(shè)計(jì)為多少m？
    （2）若設(shè)計(jì)者將圖1中縱向小道變成如圖2所示的一條與橫向小道等寬的小道，請(qǐng)你說明兩小道重疊部分四邊形EFGO是什么特殊的四邊形？此時(shí)種植面積
    變化
    變化
    （填變化或不變）
    （3）若設(shè)計(jì)者將圖1中小道邊交叉點(diǎn)O落在矩形ABCD的對(duì)角線BD上，并建立如圖3所示的直角坐標(biāo)系，且滿足OM=ON，請(qǐng)你求出點(diǎn)A的坐標(biāo)及過點(diǎn)C的反比例函數(shù)的關(guān)系式．

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