精英家教網 > 初中數學 > 題目詳情
如圖，在平面直角坐標系中，點O是原點，點A的坐標為（4，0），以OA為一邊，在精英家教網第一象限作等邊△OAB
（1）求點B的坐標；
（2）求經過O、A、B三點的拋物線的解析式；
（3）直線y=
3
2
x與（2）中的拋物線在第一象限相交于點C，求點C的坐標；
（4）在（3）中，直線OC上方的拋物線上，是否存在一點D，使得△OCD的面積最大？如果存在，求出點D的坐標和面積的最大值；如果不存在，請說明理由．
分析：（1）利用點A的坐標為（4，0），△OAB是等邊三角形，作高后利用勾股定理可以求出；
（2）題利用頂點式可以求出解析式；
（3）由直線y=
3
2
x與拋物線相交，用x表示出點C的坐標，即可求出；
（4）假設存在這樣一個點，用x表示出點D的坐標，即可求出．
解答：精英家教網解：（1）過點B作BE⊥x軸于點E，
∵△OAB是等邊三角形，
∴OE=2，BE=2
3
，
∴點B的坐標為（2，2
3
）；

（2）根據拋物線的對稱性可知，點B（2，2
3
）是拋物線的頂點，
設拋物線的解析式為y=a（x-2）2+2
3
，
當x=0時，y=0，
∴0=a（0-2）2+2
3
，
∴a=-
3
2
，
∴拋物線的解析式為y=-
3
2
（x-2）2+2
3
，
即：y=-
3
2
x2+2
3
x；

（3）設點C的橫坐標為x，則縱坐標為
3
2
x，
即點C的坐標為（x，
3
2
x）代入拋物線的解析式得：
3
2
x=-
3
2
x2+2
3
x，
解得：x=0或x=3，
∵點C在第一象限，
∴x=3，
∴點C的坐標為（3，
3
3
2
）；精英家教網

（4）存在．
設點D的坐標為（x，-
3
2
x2+2
3
x），△OCD的面積為S，
過點D作DF⊥x軸于點F，交OC于點G，則點G的坐標為（x，
3
2
x），
作CM⊥DF于點M，
則OF+CM=3，DG=-
3
2
x2+2
3
x-
3
2
x=-
3
2
x2+
3
3
2
x，
∴S=S△OCD=S△DGO+S△DGC=
1
2
DG•OF+
1
2
DG•CM=
1
2
DG•（OF+CM）=
1
2
DG×3
=
1
2
（-
3
2
x2+
3
3
2
x）×3，
∴S=-
3
3
4
x2+
9
3
4
x=-
3
3
4
（x-
3
2
）2+
27
3
16
，
∴△OCD的最大面積為
27
3
16
，此時點D的坐標為（
3
2
，
15
3
8
）．
點評：此題主要考查了二次函數解析式的求法，以及一次函數與二次函數綜合應用，還有二次函數最值問題，綜合性比較強，題目很典型．
練習冊系列答案
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精英家教網如圖，在平面直角坐標中，四邊形OABC是等腰梯形，CB∥OA，OA=7，AB=4，∠COA=60°，點P為x軸上的一個動點，但是點P不與點0、點A重合．連接CP，D點是線段AB上一點，連接PD．
（1）求點B的坐標；
（2）當∠CPD=∠OAB，且
BD
AB
=
5
8
，求這時點P的坐標．

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（2012•渝北區(qū)一模）如圖，在平面直角坐標xoy中，以坐標原點O為圓心，3為半徑畫圓，從此圓內（包括邊界）的所有整數點（橫、縱坐標均為整數）中任意選取一個點，其橫、縱坐標之和為0的概率是
5
29
5
29
．

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如圖，在平面直角坐標中，等腰梯形ABCD的下底在x軸上，且B點坐標為（4，0），D點坐標為（0，3），則AC長為
5
5
．

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如圖，在平面直角坐標xOy中，已知點A（-5，0），P是反比例函數y=
k
x
圖象上一點，PA=OA，S△PAO=10，則反比例函數y=
k
x
的解析式為（　�。�

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如圖，在平面直角坐標中，四邊形OABC是等腰梯形，CB∥OA，OC=AB=4，BC=6，∠COA=45°，動點P從點O出發(fā)，在梯形OABC的邊上運動，路徑為O→A→B→C，到達點C時停止．作直線CP．
（1）求梯形OABC的面積；
（2）當直線CP把梯形OABC的面積分成相等的兩部分時，求直線CP的解析式；
（3）當△OCP是等腰三角形時，請寫出點P的坐標（不要求過程，只需寫出結果）．

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