Question

如圖，在正方形ABCD中，等邊三角形AEF的頂點E、F分別在BC和CD上．
（1）求證：CE=CF；
（2）若等邊三角形AEF的邊長為2，求正方形ABCD的周長．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)正方形可知AB=AD，由等邊三角形可知AE=AF，于是可以證明出△ABE≌△ADF，即可得出CE=CF；
（2）連接AC，交EF與G點，由三角形AEF是等邊三角形，三角形ECF是等腰直角三角形，于是可知AC⊥EF，求出EG=1，設BE=x，利用勾股定理求出x，即可求出BC的上，進而求出正方形的周長．
解答：（1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB=AD，
∵△AEF是等邊三角形，
∴AE=AF，
在Rt△ABE和Rt△ADF中，
∵，
∴Rt△ABE≌Rt△ADF（HL），
∴BE=DF．
又BC=DC，
∴BC-BE=DC-DF，即EC=FC
∴CE=CF，

（2）解：連接AC，交EF于G點，
∵△AEF是等邊三角形，△ECF是等腰直角三角形，
∴AC⊥EF，
在Rt△AGE中，EG=sin30°AE=×2=1，
∴EC=，
設BE=x，則AB=x+，
在Rt△ABE中，AB²+BE²=AE²，即（x+）²+x²=4，
解得x=，
∴AB=+=，
∴正方形ABCD的周長為4AB=2（+）．
點評：本題考查了正方形的性質，全等三角形的判定與性質，等邊三角形的性質和等腰三角形的性質，解答本題的關鍵是對正方形和三角形的性質的熟練運用，此題難度不大，是一道比較不錯的試題．