(2010•陜西)問題探究:
(1)請你在圖①中做一條直線,使它將矩形ABCD分成面積相等的兩部分;
(2)如圖②點M是矩形ABCD內(nèi)一點,請你在圖②中過點M作一條直線,使它將矩形ABCD分成面積相等的兩部分.
問題解決:
(3)如圖③,在平面直角坐標(biāo)系中,直角梯形OBCD是某市將要籌建的高新技術(shù)開發(fā)區(qū)用地示意圖,其中DC∥OB,OB=6,CD=BC=4開發(fā)區(qū)綜合服務(wù)管理委員會(其占地面積不計)設(shè)在點P(4,2)處.為了方便駐區(qū)單位準(zhǔn)備過點P修一條筆直的道路(路寬不計),并且是這條路所在的直線l將直角梯形OBCD分成面積相等的兩部分,你認(rèn)為直線l是否存在?若存在,求出直線l的表達(dá)式;若不存在,請說明理由.

【答案】分析:(1)矩形的對角線把矩形分成面積相等的兩部分.
(2)連接AC,BD中心點位P,過P點的直線分矩形為相等的兩部分.
(3)假如存在,過點D的直線只要作DA⊥OB與點A,求出P點的坐標(biāo),設(shè)直線PH的表達(dá)式為y=kx+b,解出點H的坐標(biāo),求出斜率k和b.若k和b存在,直線就存在.
解答:解:
(1)如圖①.
(2)如圖②連接AC、BD交于P則P為矩形對稱中心.作直線MP,直線MP即為所求.
(3)如圖③存在直線l,
過點D的直線作DA⊥OB于點A,
則點P(4,2)為矩形ABCD的對稱中心,
∴過點P的直線只要平分△DOA的面積即可,
易知,在OD邊上必存在點H使得PH將△DOA面積平分.
從而,直線PH平分梯形OBCD的面積,
即直線PH為所求直線l
設(shè)直線PH的表達(dá)式為y=kx+b且點P(4,2),
∴2=4k+b即b=2-4k,
∴y=kx+2-4k,
∵直線OD的表達(dá)式為y=2x,
,解之
∴點H的坐標(biāo)為(x=,y=
把x=2代入直線PH的解析式y(tǒng)=kx+2-4k,得y=2-2k,
∴PH與線段AD的交點F(2,2-2k),
∴0<2-2k<4,
∴-1<k<1.
∴S△DHF=(4-2+2k)•(2-)=××2×4,
∴解之,得k=.(k=舍去)
∴b=8-2,
∴直線l的表達(dá)式為y=
點評:本題主要考查矩形的性質(zhì),前兩問還是比較容易,但是最后一問比較麻煩,容易出錯,做的時候要認(rèn)真.
練習(xí)冊系列答案
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A.
B.
C.
D.

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