Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，點P在AB上，AP=2，點E、F同時從點P出發(fā)，分別沿PA、PB以每秒1個單位長度的速度向點A、B勻速運動，點E到達點A后立刻以原速度沿AB向點B運動，點F運動到點B時停止，點E也隨之停止．在點E、F運動過程中，以EF為邊作正方形EFGH，使它與△ABC在線段AB的同側．設E、F運動的時間為t/秒（t＞0），正方形EFGH與△ABC重疊部分面積為S．
（1）當t=1時，正方形EFGH的邊長是 ． 當t=3時，正方形EFGH的邊長是 ．
（2）當0＜t≤2時，求S與t的函數(shù)關系式；
（3）直接答出：在整個運動過程中，當t為何值時，S最大？最大面積是多少？

Answer 1

【答案】
（1）2；4
（2）解：

，

如圖1，EP=FP=t，HE=EF=2t，

如圖2，EP=FP=t，HE=EF=2t，

AE=AP﹣EP=2﹣t，

由 = ，即 = 得t= ，

故S重疊面積=S正方形=（2t）2=4t2（0＜t≤ ），

如圖4，AE=AP﹣EP=2﹣t，

LE= AE= ，

HL=HE﹣LE=2t﹣ （2﹣t），

HM= HL= [2t﹣ （2﹣t）]，

由HG= HL，即2t= [2t﹣ （2﹣t）]

解得：t= ，

如圖3，AE=AP﹣EP=2﹣t，

LE= AE= ，

HL=HE﹣LE=2t﹣ （2﹣t），

HM= HL= [2t﹣ （2﹣t）]，

S重疊面積=S正方形﹣S△HLM=EF2﹣ HL×HM=﹣ t2+ t﹣ （ ＜t≤ ）；

如圖5，AE=AP﹣EP=2﹣t，LE= AE= （2﹣t），MF= AF= （2+t），

S重疊面積=S梯形LEFM= （EL+MF）×EF=3t（ ＜t≤2）

（3）解：由（2）知：當0＜t≤ 時，

S與t的函數(shù)關系式是S=2t×2t=4t2= ；

當 ＜t≤ 時，

S與t的函數(shù)關系式是：

S=﹣ t2+ t﹣ = ；

當 ＜t≤2時；

S與t的函數(shù)關系式是：

S=3t=6；

當t＞2時，觀察正方形與三角形的重疊面積隨t值變化情況，容易得到只有當 ≤t≤ 時，S才有可能取到最大值．如圖7，圖8，圖9，圖10，圖11，圖12，

顯然，圖10，圖12是圖11的特殊情況，只要算出圖11的重疊面積關于t的函數(shù)關系式，即可得出在圖11中，

由PA+AE=t，得AE=t﹣2，F(xiàn)B=AB﹣AE﹣EF=10﹣（t﹣2）﹣4=8﹣t，

由LE= E= （t﹣2），HL=HE﹣LE=4﹣ （t﹣2），HM= HL= [4﹣ （t﹣2）]

得S△HLM= HL×HM= [4﹣ （t﹣2）]× [4﹣ （t﹣2）]

由FB=AB﹣AE﹣EF=10﹣（t﹣2）﹣4=8﹣t，則FK= （8﹣t），GK=GF﹣KF=4﹣ （8﹣t），

由NG= GK= [4﹣ （8﹣t）]，

則S△NGK= GK×NG= [4﹣ （8﹣t）]× [4﹣ （8﹣t）]，

S重疊面積=16﹣S△NCK﹣S△HLM═﹣ t2+ t﹣ ，

=﹣ （t﹣ ）2+

∴綜上所述，當t= 時S有最大值，為 ．

由圖形知，在整個過程中，S取得最大值只會在圖11中產生，故當t= 時S有最大值，為

【解析】解：（1）當時t=1時，則PE=1，PF=1， ∴正方形EFGH的邊長是2；
當t=3時，PE=1，PF=3，
∴正方形EFGH的邊長是4．
所以答案是：2，4；
【考點精析】根據(jù)題目的已知條件，利用二次函數(shù)的最值和勾股定理的概念的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握如果自變量的取值范圍是全體實數(shù)，那么函數(shù)在頂點處取得最大值（或最小值），即當x=-b/2a時，y最值=(4ac-b2)/4a；直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2．