Question

（2007•莆田）如圖，拋物線y=x²+mx+n（其中m，n為常數(shù)且m＞n）與y軸正半軸交于A點，它的對稱軸交x軸正半軸于C點，拋物線的頂點為P，Rt△ABC的直角頂點B在對稱軸上，當它繞點C按順時針方向旋轉(zhuǎn)90°得到Rt△A′B′C．
（1）寫出點A，P，A′的坐標（用含m，n的式子表示）；
（2）若直線BB'交y軸于E點，求證：線段B′E與AA′互相平分；
（3）若點A′在拋物線上且Rt△ABC的面積為1時，請求出拋物線的解析式并判斷在拋物線的對稱軸上是否存在點D，使△AA′D為等腰三角形？若存在，請直接寫出所有符合條件的D點坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)拋物線的解析式易得出A點和P點的坐標．根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可看得出AB=A′B′，BC=B′C，因此A′的橫坐標為P點的橫坐標與A點橫坐標的和，而A′的縱坐標與P點的橫坐標相等，由此可得出A′的坐標．
（2）在直角三角形BCB′中，BC=B′C，因此三角形BCB′是等腰直角三角形，即∠EBA=∠BB′C=45°，可得出EA=AB=A′B′，這樣就證得了四邊形AEA′B′是平行四邊形，那么根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)即可得出所證的條件．
（3）①根據(jù)A′在拋物線上，將A′的坐標代入拋物線的解析式中可得出一個關于m，n的等量關系．已知了三角形ABC的面積為1，可得出另一個關于m、n的等量關系，聯(lián)立兩式即可求出m、n的值，也就求出了A、A′的坐標．
②本題可分三種情況：
一：AD=A′D；二：AD=AA′；三：AA′=A′D；
可根據(jù)對稱軸方程設出D點坐標，然后根據(jù)坐標系中兩點間的距離公式來列等量關系進而可求出D的坐標．
解答：（1）解：令x=0，得到y(tǒng)=n，
∴A（0，n），且m＞n＞0
∵y=x²+mx+n=（x-m）²+m²+n，
∴P（m，m²+n）．
根據(jù)題意得，∠ABC=∠AOC=∠OCB=90°，
∴四邊形ABCO是矩形．
∴BC=AO=B′C=n，AB=A′B′=OC=m．
∴A′點坐標為（m+n，m）．

（2）證明：連接EA′，AB′．
∵BC=B′C，∠BCB′=90°，
∴∠EB′O=45°．
∵∠EOB′=90°，
∴∠OEB′=45°，
∴OB′=OE=m+n．
∵AO=n，
∴EA=m，∵A′B′=m，
∴A′B′=EA（5分）
∵∠A′B′C=90°，
∴EA∥A′B′．
∴四邊形AEA′B′是平行四邊形．
∴對角線B′E與AA′互相平分．

（3）解：∵點A′（m+n，m）在拋物線上，
∴m=-（m+n）²+（m+n）m+n．
整理得：m-n=（m+n）（m-n）
∵m＞n，即m-n≠0．
∴m+n=3，即n=3-m．
∵AB•BC=1，即mn=1．
把n=3-m代入m•n=1
得，m（3-m）=1．
解得或（不合題意舍去）
∴拋物線解析式為y=-x²+x+1．
∴A'（3，2），A（0，1）．
結論：在拋物線的對稱軸上存在點D，使△AA′D為等腰三角形．
點D的坐標為：D₁（2，1+），D₂（2，1-），D₃（2，5），D₄（2，-1），D₅（2，0）．
點評：本題為二次函數(shù)綜合題，考查了圖形的旋轉(zhuǎn)變換、平行四邊形的判定和性質(zhì)、等腰三角形的判定等知識點，綜合性強，能力要求較高．考查學生分類討論，數(shù)形結合的數(shù)學思想方法．