Question

【題目】如圖1，已知拋物線y＝x2+bx﹣3（b是常數(shù)）與x軸交與A，B兩點，與y軸交于點C，且點A坐標為（﹣1，0）．

（1）求該拋物線的解析式和對稱軸；

（2）如圖2，拋物線的對稱軸與x軸交于點D，在對稱軸上找一個點E，使△OAC與△ODE相似，直接寫出點E的坐標；

（3）如圖3，平行于x軸的直線與拋物線交于P（x1，y1），Q（x2，y2）兩點，與直線BC交于點N（x3，y3）．若x1＜x2＜x3時，結合圖象，求x1+x2+x3的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）y＝x2﹣2x﹣3，x＝1；（2）點E（1，﹣3）或（1，3）或（1，）或（1，﹣）；（3）x1+x2+x3＞5

【解析】

（1）由待定系數(shù)法可求解析式，可得對稱軸；
（2）分兩種情況討論，由相似三角形的性質可得求解；
（3）由二次函數(shù)的性質可得x1+x2=2，由題意可得x3＞3，即可求解．

（1）∵拋物線y＝x2+bx﹣3（b是常數(shù)）與x軸交與A，B兩點，

∴0＝1﹣b﹣3

∴b＝﹣2，

∴拋物線解析式為：y＝x2﹣2x﹣3，

當y＝0時，x1＝﹣1，x2＝3，

∴B（3，0）

∴對稱軸為直線x＝1；

（2）∵拋物線y＝x2﹣2x﹣3與y軸交于點C，

∴點C（0，﹣3），且點A坐標為（﹣1，0），

∴OA＝1，OB＝3，

∵△OAC與△ODE相似，且∠AOC＝∠ODE＝90°，

∴或，

∴DE＝3或，

∴點E（1，﹣3）或（1，3）或（1，）或（1，﹣），

（3）∵點B（3，0），點C（0，﹣3）

∴直線BC的解析式為：y＝x﹣3，

∵平行于x軸的直線與拋物線交于P（x1，y1），Q（x2，y2）兩點，

∴點P，點Q關于對稱軸對稱，

∴x1+x2＝2，

∵x1＜x2＜x3，

∴直線PQ在AB的上方，

∴x3＞3，

∴x1+x2+x3＞5．