Question

已知a，b，c為正整數(shù)，且為有理數(shù)，證明為整數(shù)．

Answer 1

【答案】分析：先根據(jù)是無理數(shù)判斷出，再把分母有理化，根據(jù)a，b，c為正整數(shù)可知b²-ac=0，再把a(bǔ)²+b²+c²化為幾個(gè)因式積的形式，消去所求代數(shù)式的分母，從而所求問題得以證明．
解答：證明：因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/czsx/web/STSource/20131103195629520249122/SYS201311031956295202491012_DA/3.png">是無理數(shù)，則，
而=為有理數(shù)，
所以b²-ac=0，
于是a²+b²+c²=（a+b+c）²-2（ab+bc+ac）=（a+b+c）²-2（ab+bc+b²）=（a+b+c）²-2b（a+c+b）=（a+b+c）（a-b+c），
因此，為整數(shù)．
點(diǎn)評(píng)：本題考查的是數(shù)的整除性問題，解答此題的關(guān)鍵是把分母有理化，此題有一定的難度．