Question

【題目】如圖，一次函數(shù)y＝k1x+b的圖象經(jīng)過A（0，﹣2），B（1，0）兩點(diǎn)，與反比例函數(shù)的圖象在第一象限內(nèi)的交點(diǎn)為M，若△OBM的面積為2．

（1）求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的表達(dá)式；

（2）在x軸上是否存在點(diǎn)P，使AM⊥MP？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）是，P的坐標(biāo)為（11，0）.

【解析】

（1）根據(jù)一次函數(shù)y= k1x+b的圖象經(jīng)過A（0，-2），B（1，0）可得到關(guān)于b、k1的方程組，進(jìn)而可得到一次函數(shù)的解析式，設(shè)M（m，n）作MD⊥x軸于點(diǎn)D，由△OBM的面積為2可求出n的值，將M（m，4）代入y=2x-2求出m的值，由M（3，4）在雙曲線y= 上即可求出k的值，進(jìn)而求出其反比例函數(shù)的解析式；

（2）過點(diǎn)M（3，4）作MP⊥AM交x軸于點(diǎn)P，由MD⊥BP可求出∠PMD=∠MBD=∠ABO，再由銳角三角函數(shù)的定義可得出OP的值，進(jìn)而可得出結(jié)論．

解：（1）∵直線y＝k1x+b過A（0，﹣2），B（1，0）兩點(diǎn)

∴，

∴

∴一次函數(shù)的表達(dá)式為y＝2x﹣2．

∴設(shè)M（m，n），作MD⊥x軸于點(diǎn)D

∵S△OBM＝2，

∴ ，

∴

∴n＝4

∴將M（m，4）代入y＝2x﹣2得4＝2m﹣2，

∴m＝3

∵M（3，4）在雙曲線 上，

∴ ，

∴k2＝12

∴反比例函數(shù)的表達(dá)式為

（2）過點(diǎn)M（3，4）作MP⊥AM交x軸于點(diǎn)P，

∵MD⊥BP，

∴∠PMD＝∠MBD＝∠ABO

∴tan∠PMD＝tan∠MBD＝tan∠ABO＝ ＝2

∴在Rt△PDM中， ，

∴PD＝2MD＝8，

∴OP＝OD+PD＝11

∴在x軸上存在點(diǎn)P，使PM⊥AM，此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（11，0）