Question

【題目】綜合與探究

如圖，已知拋物線經(jīng)過點，定點為，對稱軸交軸于點．點的坐標為，點是在軸下方的拋物線對稱軸上的一個動點，交于點，軸交射線于點，作直線．

（1）求點的坐標；

（2）如圖1，當點恰好落在該拋物線上時，求點的坐標；

（3）如圖2，當時，判斷點是否在直線上，說明理由；

（4）在（3）的條件下，延長交于點，取中點，連接，探究四邊形是否為平行四邊形，并說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）當時，點在直線上．理由見解析；（4）四邊形是平行四邊形，理由見解析

【解析】

（1）先將點A坐標代入拋物線解析式，求出拋物線的解析式，從而求出點B的坐標；（2）先根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)及拋物線的解析式求出G點的坐標，然后因為，根據(jù)平行線分線段成比例，求出CE的值，則可得E的坐標；（3）首先求出直線BG的解析式，然后檢查A點是否在直線BG上;(4)根據(jù)平行四邊形的判定判斷四邊形PFHG是否式平行四邊形.

解：（1）經(jīng)過點，

，解得．

拋物線的表達式為．

點的坐標為．

（2），，

四邊形為平行四邊形．

，

又，，．

點的橫坐標為，

點落在拋物線上，

點的坐標為．

．

，

即，．

點的坐標為，

（3）當時，點在直線上．

理由如下：

當時，由（2）可知，

設(shè)直線的函數(shù)表達式為，

把，兩點坐標代人，

可得．

解方程組，得．

直線的函數(shù)表達式為．

當時，，

點在直線上．

（4）四邊形是平行四邊形．

理由如下：

由（3）可知點的坐標為．

點的坐標為，．

設(shè)直線的函數(shù)表達式為，

．解得．

直線的函數(shù)表達式為．

解方程組，解得

點．

，，

．

為的中點，

（或），．

四邊形為平行四邊形．