Question

已知：正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，點(diǎn)P為對(duì)角線BD上一點(diǎn)，連接CP．
（1）如圖1，當(dāng)BP=BC時(shí)，作PE⊥PC，交AB邊于E，求BE的長(zhǎng)；
（2）如圖2，當(dāng)DP=DC時(shí)，作PE⊥PC，交BC邊于E，求BE的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用正方形的性質(zhì)和已知條件證明△BPE≌△DCP，得到BE=PD．又因?yàn)锽E=PD=BD-BP，從而求出BE的長(zhǎng)；
（2）由已知條件和正方形的性質(zhì)判定△BPE∽△BCP，得到關(guān)于BP，BC，BE的比例式，進(jìn)而求出BE的長(zhǎng)．
解答：解：（1）∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠ABD=∠BDC=45°，∠BCP+∠DCP=90°，
∵PE⊥PC，
∴∠BPE+∠BPC=90°，
∵BP=BC，
∴∠BPC=∠BCP，
∴∠BPE=∠DCP，
又BP=BC=DC，
∴△BPE≌△DCP，
∴BE=PD．
∵BC=CD=1，
∴BD=，
又BP=BC=1，
∴BE=PD=BD-BP=；

（2）∵BC=CD=DP=1，
∴BD=，PB=．
∵PE⊥PC，
∴∠EPC=90°，
∴∠BPE+∠DPC=90°．
∵DP=DC，
∴∠DPC=∠DCP，
又∠BCP+∠DCP=90°，
∴∠BPE=∠BCP，
又∠PBE=∠CBP，
∴△BPE∽△BCP，
∴，
∴．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了正方形的性質(zhì)、勾股定理、等腰三角形的性質(zhì)以及三角形相似的判定和性質(zhì)，綜合性很強(qiáng)，并且有一定的難度．